ポリトープ

ポリトープ (polytope) は、2次元の多角形、3次元の多面体を一般次元へ一般化した図形。多角形は2次元ポリトープ、多面体は3次元ポリトープである。

多胞体（たほうたい）の訳語があるが、4次元ポリトープ (4-polytope, polychoron) に限って多胞体と呼ぶ語法もある。そのため、ここでは混乱を防ぐため、原則として多胞体と言う言葉は使わずポリトープを使うが、ポリトープでは不自然な一部の複合語では多胞体を使う。

次元ごとの名称

次元	英語	カタカナ	日本語
任意	polytope	ポリトープ	（多胞体）
n	n-polytope	nポリトープ	（n次元多胞体）
0	point	ポイント	点
1	segment	セグメント	線分
2	polygon	ポリゴン	多角形
3	polyhedron	ポリヘドロン	多面体
4	polychoron	ポリコロン	（多胞体）
5	polyteron	ポリテロン
6	polypeton	ポリペトン
7	polyexon	ポリエクソン
8	polyzetton	ポリゼトン
9	polyyotton	ポリヨトン

5次元以上の英語名は、ジョージ・オルシェフスキー (George Olshevsky) による提案名であり、必ずしも広く受け入れられているわけではない。それぞれ $10^{3(n-1)}$ を表すSI接頭辞が元になっている。なお、 $10^{3(n-1)}$ を表すSI接頭辞は $n-1$ を意味する数詞をもじってつけられている。たとえば、polyteron ← tera ← tetra = 4。そのため、「多面体」の「面」が2次元を意味するように、表す数はポリトープの次元数より一つ少ない。

3次元以上の英語名の語尾 -on は、複数形では -a となる。たとえば、polyhedron（多面体）の複数形はpolyhedra。ただし、polygon（多角形）の複数形はpolygonsである。

要素の名称

頂点、辺、面を一般次元へ一般化したものを要素 (element) あるいは面 (face) という。ポリトープ自体も n 次元（余次元 0）の要素「体」であるが、いくつかの性質が特殊で、別扱いすることもある。

特別な名称をもつ中間次元面

次元	英語	日本語		余次元	英語	日本語
0	vertex	頂点		0	body	体
1	edge	辺		1	facet	刻面
2	face	面		2	ridge	稜
3	cell	胞		3	peak	峰
⋮	⋮	⋮		⋮	⋮	⋮

一般の m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元の要素は、m 次元面（m-face）という。頂点、辺、面はそれぞれ0、1、2次元面である。英語では、3、n - 3 ～ n - 1 次元面にも固有の名称が付いている。名称が重複している場合は、0～3次元面の名前を優先する。たとえば、正多面体の1次元面はピークではなく頂点である。

n - 3 ～ n - 1 次元面の名称には定訳はない。3次元面のセルは胞と訳す。多胞体をポリトープの意味で使う立場では、n - 1 次元面のファセットが胞と解釈できるが、その意味で使うことはあまりない。

なお三次元図形によるイメージ化を行う影響で、n - k 次元面の名称を言うべきところで 3 - k 次元面の名称をいってしまう、たとえば一般次元のポリトープについてピークと言うべきところで頂点と言ってしまうような誤りが、（言語を問わず）見られる。

さまざまなポリトープ

単体

n + 1 個の頂点を持つ n 次元ポリトープを単体 (simplex) と呼び、その次元で最も頂点数が少ない。頂点だけでなく、各次元の m 次元面の数も ${}_{n+1}{\operatorname {C} }_{m+1}$ と一意に決まり、それぞれ最少である。

2次元では三角形、3次元では四面体が単体である。

単体の各要素もまた単体である。たとえば、四面体の面は全て三角形である。

正多胞体

各ファセット（n − 1 次元面）が合同で、各頂点形状が合同なポリトープを、正多胞体 (regular polytope) と呼ぶ（この語も、4次元のものに限って使うことが少なくない）。正多胞体はシュレーフリ記号で表現できる。

正多胞体の各要素もまた正多胞体である。たとえば、正多面体の面は合同な正多角形である。

正多胞体の種数は次元によって異なるが、2次元以上のどの次元にも存在する3種類の正多胞体があり、標準正多胞体という。それぞれの標準正多胞体は、α体（正単体）、γ体（超立方体）、β体（正軸体）という。

次元	正多胞体	α体	γ体	β体	その他	個数
0		点		-		1
1		線分		-		1
2	正多角形	正三角形	正方形		正五角形・正六角形・正七角形・…	∞
3	正多面体	正四面体	立方体	正八面体	正十二面体・正二十面体	5
4	（正多胞体）	正五胞体	正八胞体	正十六胞体	正二十四胞体・正百二十胞体・正六百胞体	6
n ≥ 5		(n + 1)	(2n)	(2n)		3

空間充填形

n次元ポリトープによるn次元空間充填形は、n + 1 次元ポリトープとみなすことができる。たとえば、平面充填形（2次元空間充填形）は多面体とみなすことができる。

双対

n 次元ポリトープに対し、各 m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面を n - m - 1 次元面で置き換える操作で得られるポリトープを、元のポリトープの双対 (dual) という。

多面体の双対を双対多面体という。多角形の双対はそれ自身である。

シュレーフリの定理

孔や密度のない n 次元ポリトープの m （0 ≤ m ≤ n）次元要素の数を $e_{m}$とすると、

$\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}e_{m}=1$

が成り立ち、これをシュレーフリの定理と呼ぶ。

n 次元要素（常に1）を足さず、

$\sum _{m=0}^{n-1}(-1)^{m}e_{m}=1-(-1)^{n}={\begin{cases}0,\quad n\in 2\mathbb {Z} \\2,\quad n\in 2\mathbb {Z} +1\end{cases}}$

の形で書くこともある（$2\mathbb {Z} ,2\mathbb {Z} +1$ は偶数と奇数）。この式の値をオイラー標数という。

3次元 (n = 3) の場合は、「頂点数 − 辺数 + 面数 = 2」のオイラーの多面体定理となる。