テイラー展開

テイラー展開（テイラーてんかい: Taylor expansion）とは、無限回微分可能な関数 f(x) から、テイラー級数（テイラーきゅうすう、Taylor series）と呼ばれる、負冪の項を持たない冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。冪級数展開(べききゅうすうてんかい)とも呼ばれる。

実数または複素数関数の f(x) が 1 変数関数の場合には

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

ここで n! は n の階乗で、ƒ⁽ⁿ⁾(a) は ƒ の x = a における n 次導関数、ƒ の 0 次導関数は ƒ 自身である。また、(x − a)⁰ と 0! は 1 と定義されている。この冪級数がもとの関数 f(x) に一致するとき、f(x) はテイラー展開可能であるという。

多変数関数の場合にも同様の展開法が考えられ、それもテイラー展開という。

厳密にはこの展開は x = a の近傍でのみ考えるものであり、x = a におけるテイラー展開、またはx = a のまわりでのテイラー展開という。a = 0 のとき

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

を特にマクローリン展開(マクローリンてんかい: Maclaurin expansion - 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する。)と呼ぶ。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的である、またはその領域上の解析関数であるという。

関数が無限回微分可能であっても、テイラー級数が元の関数とすべての x で一致するとは限らない。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 R_n が 0 に収束するかどうかによって判定できる；ここで R_n は
ある c ∈ (a, x) が存在して、

$R_{n}(x)={f^{(n)}(c) \over n!}(x-a)^{n}$

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる；

$R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{(x-t)^{n-1} \over (n-1)!}f^{(n)}(t)\,dt.$

例

いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。

多項式: 多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。
指数関数と自然対数: $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ for all }}x$; $\log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1$
幾何級数: ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{for all }}|x|<1$
二項定理: $(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }C(\alpha ,n)x^{n}\quad {\mbox{for all }}|x|<1{\mbox{ and any complex }}\alpha$
三角関数: $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x$; $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x$; $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}$; $\csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2-2^{2n})B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}0<|x|<\pi$; $\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}$; $\cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}0<|x|<\pi$; $\sin ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$; $\cos ^{-1}x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$; $\tan ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$
双曲線関数: $\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x$; $\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x$; $\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}$; $\sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$; $\tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$
ランベルトの W 関数: $W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {1}{e}}$

tan(x)、csc(x)、cot(x)、tanh(x) の展開に現われる数 B_k はベルヌーイ数である。二項展開の C(α,n) は二項係数である。sec(x) の展開に現われる E_k はオイラー数である。

和算におけるテイラー展開

同時期の鎖国下の日本において、1720年頃に、和算家建部賢弘によってテイラー級数が使用されている。建部自身が、何らかの公式であるとは認識していなかっただろうが、正 1024 角形のみを用いた 40 桁程度の円周率を導き出している。実質は ${\frac {(\sin ^{-1}x)^{2}}{2}}$ の級数に x = 1/2 を代入したものである。