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電信方程式(でんしんほうていしき、英: telegraphic equation)とは、波動や信号の伝播を記述する2階の線形偏微分方程式のこと。分布定数回路における電流や電圧の分布、導体中の電磁場の伝播、減衰のある弦の振動などの現象を記述する。
空間変数x と時間変数t と実数値関数u (x, t )に対し、
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\gamma u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dc1a7754d38e0c6f55870a1069b62c13cdab76)
で与えられる双曲型の2階偏微分方程式を電信方程式という。特にγ=0である場合は、通常の波動方程式に相当する。
より一般的にn次元の空間変数x=(x1,…,xn) と時間変数t の実数値関数u (x, t )に対し、
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}u+\gamma u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494724c2ee058dd56e262ef1459b4ce9f5f2c027)
で与えられる偏微分方程式も電信方程式という。但し、∇2はn次元におけるラプラス作用素
![{\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{\,2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{\,2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{\,2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ceb49325ee4bc9641dc486dad195c59b1a39397)
である。
- 標準形
- 電信方程式は、時間t についての一階の導関数や物理的な係数を含んだ形で、
![{\displaystyle \left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {1}{\kappa ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mu ^{2}\right]u({\boldsymbol {x}},t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da8ead4ad23c53319f435bf089c20d087bdfef6)
- という形式で表現される場合が多い。このような場合でも
![{\displaystyle \chi ({\boldsymbol {x}},t)=e^{{\frac {c^{2}}{2\kappa ^{2}}}t}\cdot u({\boldsymbol {x}},t),\quad s=ct,\quad \gamma =\mu ^{2}-{\frac {c^{2}}{4\kappa ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5536261e97005ea40cf37097c66f23b4bc977455)
- という変換にて、
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial s^{2}}}-\nabla ^{2}\chi +\gamma \chi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073cacc41317544a2c7af8149766feb7e744aa76)
- となり、上記の形式に帰着される。
伝送線路などの分布定数回路において、位置x、時刻t における電圧をV(x, t )、電流をI(x, t )とすると以下を満たす。
![{\displaystyle C{\frac {\partial V}{\partial t}}+GV+{\frac {\partial I}{\partial x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49149719bc421ca28b3fb45774faee7657352af3)
![{\displaystyle L{\frac {\partial I}{\partial t}}+RI+{\frac {\partial V}{\partial x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c4de7b37feab6f2bb1c0d56420f657ce092d50)
ここで、L は伝送線路のインダクタンス、R は伝送線路の抵抗、C は伝送線路の容量、G は伝送線路の漏洩コンダクタンスである。狭義の意味では、電信方程式は分布定数回路における、この連立微分方程式そのものを指すことが多い。
上式から互いの変数を消去すれば、
![{\displaystyle LC{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}+(LG+RC){\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+RGV=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2796f6701bdd3cb26eca3950b5c949b633e86b3e)
![{\displaystyle LC{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}+(LG+RC){\frac {\partial I}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}+RGI=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c0779fe7d648339248c21781e47daecc61788d)
を得る。
電気伝導率σ、誘電率ε、透磁率μの導体中において、電場E(x,t )と磁場H(x,t )は、次の形の電信方程式を満たす。
![{\displaystyle \mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} +\mu \sigma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3329e548b12106fe33586e34a634bba8c5fdb2d4)
![{\displaystyle \mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {H} +\mu \sigma {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df746072e939228b0fea785bf53329f6723ff09e)
減衰ある弦の振動において、位置x と時刻t における弦の変位をu (x, t )とすると、u (x, t )は
![{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-T{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\rho \kappa {\frac {\partial u}{\partial t}}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf4f93c1e270a3736d49786e715053dc99ef035)
で与えられる電信方程式を満たす。ここで、T は張力、ρは弦の線密度、κは減衰の効果を表す比例係数である。
場の量子論において、クライン-ゴルドン場φ(x,t )の満たすクライン-ゴルドン方程式は、電信方程式と等価である以下の形で与えられる。
![{\displaystyle \left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\biggl (}{\frac {mc}{\hbar }}{\biggr )}^{2}\right]\phi (\mathbf {x} ,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e1bc48d77466ab3264eef96df47abed8fc52c8)
ここでc は光速度、m はクライン-ゴルドン場の粒子の質量である。
- R. Courant, D. Hilbert, Methoden Der Mathematischen Physik , R. クーラン, D. ヒルベルト(著)、丸山滋弥、斎藤利弥(翻訳)『数理物理学の方法』東京図書