電信方程式

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電信方程式(でんしんほうていしき、: telegraphic equation)とは、波動信号の伝播を記述する2階の線形偏微分方程式のこと。分布定数回路における電流や電圧の分布、導体中の電磁場の伝播、減衰のある弦の振動などの現象を記述する。

定義と性質[編集]

空間変数x と時間変数t と実数値関数u (x, t )に対し、

で与えられる双曲型の2階偏微分方程式を電信方程式という。特にγ=0である場合は、通常の波動方程式に相当する。

より一般的にn次元の空間変数x=(x1,…,xn) と時間変数t の実数値関数u (x, t )に対し、

で与えられる偏微分方程式も電信方程式という。但し、∇2はn次元におけるラプラス作用素

である。

標準形

電信方程式は、時間t についての一階の導関数や物理的な係数を含んだ形で、

という形式で表現される場合が多い。このような場合でも

という変換にて、

となり、上記の形式に帰着される。

電信方程式に従う物理現象[編集]

分布定数回路における電圧、電流分布[編集]

伝送線路などの分布定数回路において、位置x、時刻t における電圧をV(x, t )、電流をI(x, t )とすると以下を満たす。

ここで、L は伝送線路のインダクタンス、R は伝送線路の抵抗、C は伝送線路の容量、G は伝送線路の漏洩コンダクタンスである。狭義の意味では、電信方程式は分布定数回路における、この連立微分方程式そのものを指すことが多い。

上式から互いの変数を消去すれば、

を得る。

導体中の電磁場[編集]

電気伝導率σ、誘電率ε、透磁率μの導体中において、電場E(x,t )と磁場H(x,t )は、次の形の電信方程式を満たす。

減衰のある弦の振動[編集]

減衰ある弦の振動において、位置x と時刻t における弦の変位をu (x, t )とすると、u (x, t )は

で与えられる電信方程式を満たす。ここで、T は張力、ρは弦の線密度、κは減衰の効果を表す比例係数である。

クライン-ゴルドン方程式[編集]

場の量子論において、クライン-ゴルドン場φ(x,t )の満たすクライン-ゴルドン方程式は、電信方程式と等価である以下の形で与えられる。

ここでc は光速度、m はクライン-ゴルドン場の粒子の質量である。

参考文献[編集]

  • R. Courant, D. Hilbert, Methoden Der Mathematischen Physik , R. クーラン, D. ヒルベルト (著), 丸山 滋弥, 斎藤 利弥 (翻訳)『数理物理学の方法』東京図書

関連項目[編集]