岩澤理論

In number theory, Iwasawa theory is a Galois module theory of ideal class groups, initiated by Kenkichi Iwasawa as part of the theory of cyclotomic fields.

数論における岩澤理論（いわさわりろん、Iwasawa theory）は、岩澤健吉が円分体の理論の一部として創始した、（無限次元拡大の）ガロア群のイデアル類群における表現論である。

Iwasawa's starting observation was that there are towers of fields in algebraic number theory, having Galois group isomorphic with the additive group of p-adic integers. That group, usually written Γ in the theory and with multiplicative notation, can be found as a subgroup of Galois groups of infinite field extensions (which are by their nature pro-finite groups). The group Γ itself is the inverse limit of the additive groups Z/pⁿZ, where p is the fixed prime number and n = 1,2, ... . We can express this by Pontryagin duality in another way: Γ is dual to the discrete group of all p-power roots of unity in the complex numbers.

岩澤が端緒としたのは、代数的数論において Z_p 拡大と呼ばれる、そのガロア群が p-進整数環の加法群 Z_p と同型となるような体の塔（拡大列）の存在性である。このガロア群は理論中しばしば Γ と書かれ、（アーベル群ではあるが）乗法的に記される。このような群は、（そのガロア群が本質的に射有限群であるような）無限次元代数拡大のガロア群の部分群として得られる。この群 Γ それ自身は、ある素数 p を固定したときの、加法群 Z/pⁿZ (n = 1, 2, ...) たちが自然な射影によって成す逆系の逆極限（Z の射有限完備化）である。これはまた、ポントリャーギン双対を考えれば、任意の p の冪に対する 1 の冪根全体が成す円周群の離散部分群の双対として得られるコンパクト群が Γ であるとも述べられる。

A first and important example is in terms of the field K = Q(ζ) with ζ a primitive p-th root of unity. If K_n is the field generated by a primitive pⁿ⁺¹-th root of unity, then the tower of fields K_n (inside C) has a union L. Then the Galois group of L over K is isomorphic with Γ, because the Galois group of K_n over K is Z/pⁿZ.

最初の重要な例は、1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。K_n を 1 の原始 pⁿ⁺¹乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 K_n (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 K_n/K のガロア群が Z/pⁿZ であることによる。

In order to get an interesting Galois module here, Iwasawa took the ideal class group of K_n, and let I_n be its p-torsion part. There are norm mappings

I_m → I_n

when m > n, and so an inverse system. Letting I be the inverse limit, we can say that Γ acts on I, and it is desirable to have a description of this action.

ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は K_n のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 I_n （p-部分）を考えた。このときノルム写像

I_m → I_n

（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。

また、以下のような量的な記述ができる： p を素数とし、K_n を塔とする K の Z_p 拡大 L に対し、K_n のイデアル類群の p-部分 I_n（これは有限 p-群だから位数は p の冪である）の位数の p の冪指数を e_n とするとき、適当な正の数 μ, λ と実数 ν および十分大きな n をとれば

$e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+\nu$

という形に表すことができる。

The motivation here was undoubtedly that the p-torsion in the ideal class group of K had already been identified by Kummer as the main obstruction to the direct proof of Fermat's last theorem. Iwasawa's originality was to go 'off to infinity' in a novel direction.

ここでの動機というのは、K のイデアル類群の p 部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。

In fact I is a module over the group ring Z_p[Γ]. This is a well-behaved ring (regular and two-dimensional), meaning that it is quite possible to classify modules over it, in a way that is not too coarse.

事実として、I は群環 Z_p[Γ] 上の加群であり、またこの群環は二次の正則局所環と呼ばれる（その上の加群のそれほど粗くない分類が非常に容易であるという意味で）素性の良い環である。

From this beginning, in the 1950s, a substantial theory has been built up. A fundamental connection was noticed between the module theory, and the p-adic L-functions that were defined in the 1960s by Kubota and Leopoldt. The latter begin from the Bernoulli numbers, and use interpolation to define p-adic analogues of the Dirichlet L-functions. It became clear that the theory had prospects of moving ahead finally from Kummer's century-old results on regular primes.

理論の創始された1950年代には、かなりの理論が構築されていき、久保田やレオポルド (Leopoldt) が1960年代に考案した p-進 L 関数の理論が、岩澤の加群の理論に基本的に結び付けられた。p 進 L 関数は、ベルヌイ数から始めて補間法を用いて定義される、ディリクレの L 関数の p-進の類似物である。最終的に、クンマーによる正則素数に関する結果から世紀を隔てて、フェルマーの最終定理の前進する見通しが立ったことが明らかとなった。

The main conjecture of Iwasawa theory was formulated as an assertion that two methods of defining p-adic L-functions (by module theory, by interpolation) should coincide, as far as that was well-defined. This was eventually proved by Barry Mazur and Andrew Wiles for Q, and for all totally real number fields by Andrew Wiles.

岩澤主予想は、（加群の理論と補間法の）二種類の方法で定義される p-進 L 関数は（それが定義可能な限りは）一致するはずであるという形で定式化された。この予想は結果としては、バリー・メイザー (Barry Mazur) とアンドリュー・ワイルズによって有理数体 Q の場合に、またやはりアンドリューワイルズによって任意の総実数体の場合に証明された。

参考文献

• Coates, J. and Sujatha, R., Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer-Verlag, 2006
• Lang, S., Cyclotomic Fields, Springer-Verlag, 1978
• Washington, L., Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd edition, Springer-Verlag, 1997
• Barry Mazur and Andrew Wiles (1984). "Class Fields of Abelian Extensions of Q". Inventiones Mathematicae 76 (2): 179-330.
• Andrew Wiles (1990). "The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields". Annals of Mathematics 131 (3): 493-540.