|
|
1行目: |
1行目: |
|
|
{{出典の明記|date=2017年4月15日 (土) 06:51 (UTC)}} |
|
'''ブラ-ケット記法'''(ブラ-ケットきほう、{{lang-en-short|bra-ket notation}})は[[量子力学]]における[[量子状態]]を記述するための標準的な記法である。 |
|
'''ブラ-ケット記法'''(ブラ-ケットきほう、{{lang-en-short|bra-ket notation}})は[[量子力学]]における[[量子状態]]を記述するための標準的な記法である。 |
|
|
|
|
|
この名称は、2つの状態の[[内積]]が[[括弧#山括弧〈〉|'''ブラケット''']]を用いて <math style="vertical-align: -26%; line-height:100%;">\langle\phi|\psi\rangle</math> のように表され、この左半分 <math style="vertical-align: -26%; line-height:100%;">\langle\phi|</math> を'''ブラ'''[[ベクトル空間|ベクトル]]、右半分 <math style="vertical-align: -26%; line-height:100%;">|\psi\rangle</math> を'''ケット'''ベクトルと呼ぶことによる。この記法は[[ポール・ディラック]]が発明したため、'''ディラックの記法'''とも呼ぶ。 |
|
この名称は、2つの状態の[[内積]]が[[括弧#山括弧〈〉|'''ブラケット''']]を用いて {{math|{{bra-ket|''φ''|''ψ''}}}} のように表され、この左半分 {{math|{{bra|''φ''}}}} を'''ブラ'''[[ベクトル空間|ベクトル]]、右半分 {{math|{{ket|''ψ''}}}} を'''ケット'''ベクトルと呼ぶことによる。この記法は[[ポール・ディラック]]が発明したため、'''ディラックの記法'''とも呼ぶ。 |
|
|
|
|
|
== 正規直交基底とブラケット記法 == |
|
== 正規直交基底とブラケット記法 == |
|
⚫ |
[[正規直交系|正規直交基底]]のうち2つのラベルを {{Mvar|α, β}} として、内積をブラ-ケット記法で表すと |
|
|
|
|
⚫ |
:<math>\langle\alpha|\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}</math> |
⚫ |
[[正規直交系|正規直交基底]]のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと |
|
|
⚫ |
となる <ref>基底が連続的な場合は、[[クロネッカーのデルタ]] { {mvar|δ{{sub|&alpha ;&beta ;}}}} を[[ディラックのデルタ関数]] {{math |''&delta ;''( ''&alpha ;'' − ''&beta ;'') }} に置き換える 。</ref>。 |
|
|
|
⚫ |
<math>\langle\alpha|\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}</math> |
|
|
|
|
⚫ |
となる (基底が連続的な場合は、[[クロネッカーのデルタ]] <math>\delta_{ \alpha \beta} </math> を[[ディラックのデルタ関数]] <math >\delta( \alpha -\beta) </math> に置き換える )。 |
|
|
|
|
|
|
また正規直交基底の[[完全系|完全性]]は |
|
また正規直交基底の[[完全系|完全性]]は |
|
⚫ |
:<math>\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha|=1</math> |
|
|
|
|
⚫ |
と表現される <ref>基底が連続的な場合は、[[総和]] {{math |{{sum|b=''&alpha ;''|style=d}}}} を[[積分]] {{math |&int ;d ''&alpha ;''}} に置き換える 。</ref>。 |
⚫ |
<math>\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha|=1</math> |
|
|
|
|
⚫ |
と表現される (基底が連続的な場合は、[[総和]] <math >\sum_\alpha </math> を[[積分]] <math >\int d \alpha </math> に置き換える )。 |
|
|
|
|
|
|
== 第二量子化とブラケット記法 == |
|
== 第二量子化とブラケット記法 == |
|
⚫ |
[[第二量子化]]された粒子[[生成消滅演算子|生成演算子]] {{math|''a''< sup> &dagger ;</ sup> }} を用いて2粒子状態を |
|
|
|
|
⚫ |
:<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle</math> |
⚫ |
[[第二量子化]]された粒子[[生成消滅演算子|生成演算子]] < math> a^\dagger</ math> を用いて2粒子状態を |
|
|
⚫ |
と定義する。この時 {{math |''a ''<sup>&dagger ;</ sup> }} が[[フェルミ粒子]]を表す[[演算子]]なら、これらは[[反交換関係]] {{math |{ {(}}{{SubSup|a |''&alpha ;''|†}}, {{SubSup|a |''&beta ;''|†} }{{)}} {{= }} 0 }} を満たすので、 |
|
|
|
|
<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle</math> |
|
:<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=-a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=-|\beta\alpha\rangle</math> |
|
|
|
⚫ |
と定義する。この時 <math >a ^\dagger</ math> が[[フェルミ粒子]]を表す[[演算子]]なら、これらは[[反交換関係]] <math >\{a ^\dagger_\alpha,a ^\dagger_\beta \}=0 </math> を満たすので、 |
|
|
|
|
⚫ |
<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle= -a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle= -|\beta\alpha\rangle</math> |
|
|
|
|
|
となり、反対称化されている。 |
|
となり、反対称化されている。 |
|
|
|
|
|
また <math>a^\dagger</math> が[[ボース粒子]]を表す演算子であれば、これらは[[交換関係 (量子力学)|交換関係]] <math>[a^\dagger_\alpha,a^\dagger_\beta]=0</math> を満たすので、 |
|
また {{math|''a''<sup>†</sup>}} が[[ボース粒子]]を表す演算子であれば、これらは[[交換関係 (量子力学)|交換関係]] {{math|[{{SubSup|a|''α''|†}}, {{SubSup|a|''β''|†}}] {{=}} 0}} を満たすので、 |
|
⚫ |
:<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=|\beta\alpha\rangle</math> |
|
⚫ |
|
|
|
|
|
|
|
== 脚注 == |
⚫ |
<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0 \rangle=a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=|\beta\alpha\rangle</math> |
|
|
|
{{脚注ヘルプ}} |
|
|
|
|
|
{{Reflist}} |
⚫ |
|
|
|
|
|
|
|
{{DEFAULTSORT:ふらけつときほう}} |
|
{{DEFAULTSORT:ふらけつときほう}} |
|
⚫ |
|
|
⚫ |
|
|
[[Category:量子力学]] |
|
[[Category:量子力学]] |
|
[[Category:情報理論]] |
|
[[Category:情報理論]] |
⚫ |
|
|
⚫ |
|
|
| この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "ブラ-ケット記法" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2017年4月) |
ブラ-ケット記法(ブラ-ケットきほう、英: bra-ket notation)は量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。
この名称は、2つの状態の内積がブラケットを用いて ⟨φ|ψ⟩ のように表され、この左半分 ⟨φ| をブラベクトル、右半分 |ψ⟩ をケットベクトルと呼ぶことによる。この記法はポール・ディラックが発明したため、ディラックの記法とも呼ぶ。
正規直交基底とブラケット記法
正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと
となる[1]。
また正規直交基底の完全性は
と表現される[2]。
第二量子化とブラケット記法
第二量子化された粒子生成演算子 a† を用いて2粒子状態を
と定義する。この時 a† がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 {a †
α , a †
β } = 0 を満たすので、
となり、反対称化されている。
また a† がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 [a †
α , a †
β ] = 0 を満たすので、
となり、対称化されている。
脚注