「対角化」の版間の差分

削除された内容追加された内容

インライン

2011年12月7日 (水) 05:05時点における版

対角化（たいかくか、英: diagonalization^[1]）は、正方行列を適当な線形変換によりもとの行列と同値な対角行列に帰着させること。あるいは、ベクトル空間の線形写像に対し、空間の基底を取り替え、その作用が常にある方向（固有空間）へのスカラー倍（固有値）として現れるようにすること。

概要

n 次正方行列 A に対して、 n 次対角行列 D と正則な n 次正方行列 U が存在して、

U^{-1}AU=D

とできるとき、行列 A は対角化可能であるという。このとき、 $AU=UD$ であるから、 D の対角成分には A の固有値がならび、その他の非対角成分はすべて 0 となる。

A の固有値を重複を許さず、 $\lambda _{i},i=1,\cdots ,r,$ とするとき、A が対角化可能であるための必要十分条件は、

\sum _{i=1}^{r}\dim \ker(\lambda _{i}I_{n}-A)=n,

かつ、各項が各固有値の重複度と等しいことである。ここで、 $I_{n}$ は n 次単位行列を表す。 $\ker(\lambda _{i}I_{n}-A)$ は固有値 $\lambda _{i}$ の固有空間であるから、この条件はベクトル空間の基底として A の固有ベクトルが取れることを意味している。

A が実対称行列のとき、A は常に対角化可能であり、U として直交行列を取ることができる。また A がユニタリー行列 U を用いて対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。正規行列の中で応用上重要なクラスとして、対称行列とエルミート行列がある。

脚注

[脚注の使い方]

^ 文部省、日本物理学会編『学術用語集物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。

参考文献

外部リンク

この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

[1] 文部省、日本物理学会編『学術用語集物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。

[1]

@@ 1行目: / 1行目: @@
+'''対角化'''（たいかくか、{{Lang-en-short|diagonalization}}<ref>{{Cite book|和書
-'''対角化'''（たいかくか、'''Diagonalization'''）は、[[正方行列]]を適当な線形変換によりもとの行列と[[行列の相似|同値]]な[[対角行列]]に帰着させること。あるいは、[[ベクトル空間]]の[[線形写像]]にたいし、空間の基底を取り替え、その作用が常にある方向（[[固有値|固有空間]]）へのスカラー倍（[[固有値]]）として現れるようにすること。
+|author = [[文部省]]
+|coauthors = [[日本物理学会]]編
+|title = [[学術用語集]] 物理学編
+|url = http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi
+|year = 1990
+|publisher = [[培風館]]
+|isbn = 4-563-02195-4
+|page =
+}}</ref>）は、[[正方行列]]を適当な[[線形変換]]によりもとの[[行列]]と[[行列の相似|同値]]な[[対角行列]]に帰着させること。あるいは、[[ベクトル空間]]の[[線形写像]]に対し、[[空間]]の[[基底]]を取り替え、その作用が常にある方向（[[固有値|固有空間]]）への[[スカラー]]倍（[[固有値]]）として現れるようにすること。
+== 概要 ==
-''n'' 次正方行列 ''A'' に対して、 ''n'' 次対角行列 ''D'' と正則な ''n'' 次正方行列 ''U'' が存在して
+''n'' 次正方行列 ''A'' に対して、 ''n'' 次対角行列 ''D'' と正則な ''n'' 次正方行列 ''U'' が存在して、
-:<math> U^{-1} A U = D </math>
+: <math> U^{-1} A U = D </math>
-とできるとき、行列 ''A'' は'''対角化可能'''であるという。
-このとき、<math> AU = UD </math>であるから、 ''D'' の対角成分には ''A'' の固有値がならび、その他の非対角成分はすべて0となる。
+とできるとき、行列 ''A'' は'''対角化可能'''であるという。このとき、<math> AU = UD </math> であるから、 ''D'' の対角成分には ''A'' の固有値がならび、その他の非対角成分はすべて 0 となる。
-''A'' の[[固有値]]を重複を許さず<math>\lambda_{i}, i=1,\cdots,r, </math>とするとき、
+''A'' の固有値を重複を許さず、<math>\lambda_{i}, i=1,\cdots,r, </math> とするとき、''A'' が対角化可能であるための必要十分条件は、
+: <math> \sum_{i=1}^{r}\dim\ker(\lambda_{i}I_{n} - A) = n, </math>
-''A'' が対角化可能であるための必要十分条件は、
+かつ、各項が各固有値の重複度と等しいことである。ここで、<math>I_{n}</math> は ''n'' 次単位行列を表す。<math>\ker(\lambda_{i}I_{n}-A)</math> は固有値 <math>\lambda_{i}</math> の固有空間であるから、この条件はベクトル空間の基底として ''A'' の固有ベクトルが取れることを意味している。
-:<math> \sum_{i=1}^{r}\dim\ker(\lambda_{i}I_{n} - A) = n, </math>
-かつ、各項が各固有値の重複度と等しいこと
-である。ここで、<math>I_{n}</math>は ''n'' 次単位行列を表す。
-<math> \ker(\lambda_{i}I_{n}-A)</math>は固有値<math>\lambda_{i}</math>の固有空間であるから、
-この条件はベクトル空間の基底として ''A'' の固有ベクトルが取れることを意味している。
-''A'' が実[[対称行列]]のとき、 ''A'' は常に対角化可能であり、 ''U'' として[[直交行列]]を取ることができる。
+''A'' が実[[対称行列]]のとき、''A'' は常に対角化可能であり、''U'' として[[直交行列]]を取ることができる。また ''A'' が[[ユニタリー行列]] ''U'' を用いて対角化できるためには、 ''A'' が[[正規行列]]であることが[[同値|必要十分]]である。正規行列の中で応用上重要なクラスとして、対称行列と[[エルミート行列]]がある。
-また ''A'' が[[ユニタリー行列]] ''U'' を用いて対角化できるためには、 ''A'' が[[正規行列]]であることが[[同値|必要十分]]である。
-正規行列の中で応用上重要なクラスとして、対称行列と[[エルミート行列]]がある。
 <!--
 （数値的対角化手法）
 -->
-==関連項目==
-*[[固有値問題]]
-*[[ジョルダン標準形]]
+== 脚注 ==
-{{DEFAULTSORT:たいかくか}}
+{{脚注ヘルプ}}
+{{Reflist}}
+== 参考文献 == <!-- {{Cite book}} --> <!-- {{Cite journal}} -->
+{{節stub}}
+== 関連項目 ==
-{{sci-stub}}
+<!-- {{Commonscat|Diagonalization}} -->
+* [[固有値問題]]
+* [[ジョルダン標準形]]
+== 外部リンク == <!-- {{Cite web}} -->
+{{節stub}}
+{{Math-stub}}
+{{DEFAULTSORT:たいかくか}}
+[[Category:線型代数学]]
+[[Category:数値線形代数]]
+[[Category:数学に関する記事]]
+[[en:Diagonalization]]
-[[Category:線型代数学|たいかくか]]
-[[Category:数値線形代数|たいかくか]]
-[[Category:数学に関する記事|たいかくか]]