ランダムウォーク

2次元ランダムウォークの軌跡。

ランダムウォーク（英語: random walk）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。乱歩（らんぽ）、酔歩（すいほ）とも。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス等の具体的モデル化に盛んに応用される。

数学的定義

X_n (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な R^d 値確率変数族とする。この時、

$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}$

を（d 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、X_n が Z^d 値であり、かつ、

$P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}$

（$\mathbf {e} _{j}$ は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル）である時、S_n を（d 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

例

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合$x$の分布は、$1/\pi {\sqrt {x(1-x)}}$の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は$1-x$）。これは$x=0$および$x=1$で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる。

基本的性質

1. 再帰性
   1 または 2 次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3 次元以上のランダムウォークは過渡的である。
2. Donsker の定理の系
   X_n (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、

   $S_{t}=S_{n}{\mbox{ if }}t=n,{\mbox{ linear }}{\mbox{ if }}n<t<n+1$

   で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。

   $P(|{\frac {S_{nt}}{\sqrt {n}}}-B_{t}|<\varepsilon )\rightarrow 0{\mbox{ for all }}\varepsilon >0$

応用

レビのダスト

宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。

自己回避ランダムウォーク

軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造、海岸線などのモデルとして利用されている。

関連項目

• カオス理論
• ランダム・ウォーク理論
• 確率過程
• マルコフ過程
• マルコフ連鎖
• マルコフ連鎖モンテカルロ法
• ブラウン運動