2乗3乗の法則

2乗3乗の法則（2じょう3じょうのほうそく）とは、工学や生物学などにおいて言及される法則。相似な形状をした2つの物体について、代表長さの2乗に比例する面積に関する物理量と、3乗に比例する体積に関する量とを比較し、このときそれぞれの量の変化の割合も、おおむね2乗と3乗のオーダーとなることを法則と呼んでいる。比較対象となる物理量は、分野や文脈によって異なる。2乗3乗法則、2乗3乗則とも呼ばれる。漢数字で「二乗三乗」と書かれることもある。

使用例

たとえば、生物学において、バイオメカニクスの観点から、断面積に比例する（最大）筋力と、体積に比例する質量（地上では重量・重力）とが比較されることがある。これは恐竜やゾウといった大型動物の脚などについて適用され、大きさの限界について論じられるなどする。また、細胞が小さい理由としても、この法則が関わっているものと考えられる。すなわち、細胞が必要とする物質の量は細胞の体積に比例する（3乗で増加する）のに対し、それらの物質は細胞膜を通じて取り込む必要があるが、表面積は2乗でしか増えないためである。 （恐竜#恐竜の矛盾も参照）

航空工学や船舶工学等においては、表面積に比例する抗力や揚力と、容積に比例する搭載量あるいは質量（重量・重力）などとが比較される。 例えば、ジェットエンジンの出力は酸化剤として取り入れる空気の量に、すなわちエンジンの断面積に比例するが、質量は体積に比例していると考えてよい。そのため、相似形の大きさの異なるエンジンを用いる場合、少数の大型エンジンを用いるより、多数の小型エンジンを用いる方が、出力重量比を大きくすることができる。この考え方はノースロップ社によって、F-5戦闘機の設計に取り入れられた。

熱輸送論の観点から言及されることもある。たとえば伝熱問題を考えて、表面積に比例する放熱ないし吸熱量と、体積に比例する発熱量や質量（重量）とが比較される。動物で、これをより具体的かつ大まかに論じたものがベルクマンの法則である。 この法則では物体の形状の違いについては論じていない。より詳しい議論の際には、たとえば断面二次モーメントや慣性モーメントなども考慮する必要が生じうる。

また一般に、スケールの異なる物体や系（システム）を比較する際には、無次元数（無次元量）の整合も求められる場合がある。たとえば、レイノルズ数は代表長さによって値が変わり、これも抗力や揚力に影響する可能性がある。

関連文献

• R. McNeill Alexander, Dynamics of dinosaurs and other extinct giants, Columbia University Press, New York, 1989, ISBN 0-231-06666-X (Hardcover).
• Steven Vogel, Cat's Paws and Catapults, W. W. Norton & Company, Inc., New York, 1998, ISBN 0-393-04641-9 (Paperback).
• Stephen A. Wainwright, Axis and Circumference: The Cylindrical Shape of Plants and Animals, Harvard Univ Press,
  • (Hardcover) 1988, ISBN 0-674-05700-7.
  • (Paperback) 1999, ISBN 1-58348-221-0.
  • （日本語訳）『生物の形とバイオメカニクス』本川達雄 訳、東海大学出版会、1989年、ISBN 4-486-01076-0。 - スケールの効果よりは形状に着目した記述が主。

関連項目

• 筋肉 - 構造力学
• 流体力学
• 伝熱工学
• 次元解析