掛谷集合

数学において掛谷集合（かけやしゅうごう、英: Kakeya set）もしくはベシコビッチ集合（英: Besicovitch set）とは、ユークリッド空間において、全ての方向に単位線分を持つ点の集合のことである。名称は掛谷宗一およびアブラム・ベシコヴィッチに因む。任意の正の数よりも小さい測度の掛谷集合が存在する。

平面において単位線分を連続的な移動により180度回転させて、線分を元の位置に向きを逆転させて戻すことができる点の集合を掛谷針集合と呼ぶ。

ベシコビッチの針集合

「ペロンツリーの成長」: 小さな測度の掛屋集合を構築する方法。ここでは、三角形を分割し、重なり合わせる二つの方法が示されています。最初は二つの三角形を使う方法で、次は八つの三角形を使う方法です。この方法は、元の三角形を $2^{n}$ 個の部分に切り分けることで、任意に小さな集合を構築するために使用できます。詳細については、 を参照してください。

ベシコビッチは、単位長の針が回転できるような領域 $D$ の面積に対して、0より大きい下限が存在しないことを示すことができました。すなわち、すべての $\varepsilon >0$ に対して、面積 $\varepsilon$ の領域が存在し、その中で針が連続的に動いて360度完全に回転することができます。これは、すべての方向に単位セグメントを含む平面集合に関する彼の以前の研究に基づいています。そのような集合は現在「ベシコビッチ集合」と呼ばれています。ベシコビッチが任意に小さい 測度 を持つこのような集合を示したのは1919年のことでした。この問題はそれ以前から解析学者によって考慮されていたかもしれません。

ベシコビッチ集合を構築する一つの方法（対応する図を参照）は、オスカー・ペロンにちなんで「ペロンツリー」と呼ばれ、ベシコビッチの元の構築法を簡略化することができました。正確な構築法と数値的な上限は、ベシコビッチの普及書に記載されています。

最初に観察すべきことは、針が直線上をどれだけ遠くまで動くことができるかということです。これは、針が幅ゼロの線分だからです。次のトリックはパールによって知られる「パール結合」であり、針をほとんど面積を掃かずに平行な二つの位置の間で移動させる方法を説明します。針は「N」の形に沿って動きます。最初の位置から「N」の左側を$r$だけ上に移動し、中間の対角線に角度を掃き出し、対角線を下に移動し、二つ目の角度を掃き出し、その後「N」の右側を平行に上に移動して、必要な二つ目の位置に到達します。非ゼロの面積が掃かれる領域は、一つの高さの三角形と「N」の頂点の角度の二つだけです。掃かれる面積はこの角度に比例しており、これは $1/r$ に比例します。

構築は、高さ1の任意の三角形から始まり、針が容易に掃くことができる上部にかなりの角度があります。この三角形に対して多くの操作を行い、その面積を小さくしながら針が掃くことができる方向を同じに保つことが目標です。 まず、三角形を二つに分け、それらの基部が重なり合い、全体の面積を最小限に抑えるように翻訳します。針は、最初の三角形によって与えられた方向を掃き出し、二つ目の三角形にジャンプして、その後二つ目の三角形によって与えられた方向を掃き出すことで、同じ方向を掃き出すことができます。針は、「N」技術を使用して三角形をジャンプすることができます。元の三角形が切られた二つの線は平行だからです。

さて、三角形を 2ⁿ 個の部分三角形に分割すると仮定します。図には八つの三角形が示されています。 各連続した三角形のペアに対して、前述の重なりの操作を実行し、新しい形状を半分作ります。それぞれが二つの重なり合った三角形からなる新しい形状です。次に、これらの新しい形状の連続したペアを、全体の面積を最小限に抑えるように基部が重なり合うようにシフトして重ねます。この操作を n 回繰り返して、一つの形状だけになるまで続けます。再び、針はそれぞれの 2ⁿ の部分三角形の方向の順序に沿って同じ方向を掃き出すことができます。針は、これらの三角形が切られた二つの線が平行であるため、連続した三角形を「N」技術でジャンプできます。

残るのは、最終形状の面積を計算することです。証明はここでは難しすぎます。代わりに、数がどのようになるかを説明します。 図を見れば、2ⁿ の部分三角形が多く重なり合っているのがわかります。すべての部分三角形は底で重なり合い、半分は左の枝の底で、四分の一は左の左の枝の底で、そしてそのように続きます。 i 回の統合操作から作成された各形状の面積が A_i で制限されると仮定します。 二つの形状を統合する前は、面積は 2A_i に制限されます。 次に、二つの形状をできるだけ重なるように移動させます。 最悪のケースでは、これら二つの領域は、互いに直交する二つの 1 by ε の長方形であり、その重なり合う面積はわずか ε² です。しかし、長く細い形状の二つの形状は、連続した部分三角形のグループから作られているため、大部分が同じ方向を指しています。ここでの主張は、これらが面積の少なくとも 1% 重なるということです。したがって、統合された面積は次のように制限されます。

A_i+1 = 1.99 A_i。元の三角形の面積は 1 に制限されています。したがって、各部分三角形の面積は次のように制限されます。

A₀ = 2^-n であり、最終的な形状の面積は次のように制限されます。

A_n = 1.99ⁿ × 2^-n。実際には、重なり合わないすべての面積を注意深く合計すると、最終的な領域の面積はずっと大きく、すなわち 1/n になります。 n が増加するにつれて、この面積はゼロに収束します。 ベシコビッチ集合は、正三角形から作成されたペロンツリーの六つの回転を組み合わせることによって作成できます。 平行四辺形を使用しても同様の構築が可能です。

他にも「成長」法以外で測度ゼロのベシコビッチ集合を構築する方法があります。 例えば、カハーヌは、カントール集合を用いて二次元平面における測度ゼロのベシコビッチ集合を構築しています。

ペロンツリーから構築された掛屋針集合。

1941年、H. J. ヴァン・アルフェンは、半径 2 + ε（任意の ε > 0）を持つ円の中に任意に小さな掛屋針集合が存在することを示しました。1965年には、より小さい面積の単連結掛屋針集合が発見されました。メルビン・ブルームとI. J. ショーンバーグは独立に、面積が ${\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})$ に近づく掛屋針集合を発表しました。この数値は「ブルーム・ショーンバーグ数」と呼ばれています。ショーンバーグは、この数が単連結掛屋針集合の面積の下限であると予想しました。しかし、1971年には F. カニンガムは、ε > 0 が与えられたとき、半径 1 の円に含まれる面積が ε より小さい単連結掛屋針集合が存在することを示しました。

任意に小さい正の測度を持つ掛屋針集合と測度ゼロのベシコビッチ集合は存在しますが、測度ゼロの掛屋針集合は存在しません。

掛谷針集合の諸定理

任意の正の数よりも小さい面積の掛谷針集合が存在する。

最小の凸掛谷針集合は一辺 ${2/{\sqrt {3}}}$ の正三角形である。

半径 1 の円の内部で任意の正の実数 ε に対し ${\tfrac {\pi }{108}}$+ε 以下の面積を持つ単連結掛谷針集合が存在する。

掛屋予想

定義

これらのベシコビッチ集合がどれほど小さくなり得るかという同様の問題が高次元で提起され、「掛屋予想」として知られるいくつかの予想が生まれ、幾何測度論と呼ばれる数学の分野の発端となりました。特に、測度ゼロのベシコビッチ集合が存在する場合、これらはそれらが存在する空間の次元よりも小さい次元の s 次元 ハウスドルフ測度がゼロである可能性があるのか？という問題が生じます。この問題は次の予想を導きます：

掛屋集合予想: Rⁿ における ベシコビッチ集合 を、あらゆる方向に単位線分を含む集合として定義します。そのような集合は必ず ハウスドルフ次元 と ミンコフスキー次元 が n に等しいということは真ですか？

これは n = 1 および 2 の場合に真であることが知られていますが、高次元の場合には部分的な結果しか知られていません。

掛屋最大関数

この問題に対する現代的なアプローチの一つは、次のように構成される特定のタイプの 最大関数 を考慮することです：Sⁿ⁻¹ ⊂ Rⁿ を n 次元空間の単位球面とします。$T_{e}^{\delta }(a)$ を長さ 1、半径 δ > 0 の円柱として定義し、点 a ∈ Rⁿ の中心にあり、その長い側が単位ベクトル e ∈ Sⁿ⁻¹ の方向に平行です。次に、局所可積分 関数 f に対して、f の 掛屋最大関数 を次のように定義します。

$f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)$

ここで m は n 次元 ルベーグ測度 を表します。$f_{*}^{\delta }$ は球面 Sⁿ⁻¹ 内のベクトル e に対して定義されています。

次に、これらの関数に対して次の予想があります。これが真であれば、より高次元の掛屋集合予想を示唆します：

掛屋最大関数予想: 任意の ε > 0 に対して、任意の関数 f とすべての δ > 0 に対して次のような定数 C_ε > 0 が存在する：

$\left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.$

結果

掛屋予想を証明するためのいくつかの結果は次の通りです：

• 掛屋予想は n = 1 （自明に）および n = 2（Davies）の場合に真である。
• 任意の n 次元空間において、Wolff は、掛屋集合の次元は少なくとも (n+2)/2 であることを示した。
• 2002年、Katz と Tao はWolffの境界を $(2-{\sqrt {2}})(n-4)+3$ に改善し、n > 4 に対してより良くなった。
• 2000年、Katz、Łaba、および Tao は、3次元の掛屋集合の ミンコフスキー次元 が 5/2 よりも厳密に大きいことを証明した。
• 2000年、Jean Bourgain は掛屋問題を 算術組合せ論 に関連付け、調和解析および 加法的数論を含む問題に発展させた。
• 2017年、Katz と Zahl は3次元のベシコビッチ集合の ハウスドルフ次元 の下限を $5/2+\epsilon$ に改善した。ただし絶対定数 $\epsilon >0$ とする。

解析への応用

やや驚くべきことに、これらの予想は、特に調和解析における他のいくつかの問題に関連していることが示されています。例えば、1971年にチャールズ・フェッファーマンは、ベシコビッチ集合の構成を利用して、次のことを示しました。次元が1を超える場合、原点を中心とした半径が無限大に向かう球体上で取られるトランケート・フーリエ積分は、L^pノルム（p ≠ 2の場合）で収束しないことがあります（これは、一次元の場合においてそのようなトランケート積分が収束するのとは対照的です）。

掛屋問題の類似および一般化

円や球を含む集合

掛屋問題の類似として、直線以外のより一般的な形状を含む集合を考えることがあります。例えば、円を考えます。

• 1997年および1999年、ウルフは、すべての半径の球を含む集合は完全な次元を持たなければならず、つまり、その次元は存在する空間の次元と等しいことを示しました。これは、掛屋最大関数に類似した円の最大関数に対しての境界を証明することによって証明されました。

• 半径ゼロの周りの球を含む集合が存在するという予想が立てられました。エリアス・スタインの結果 は、n ≥ 3のとき、すべてのそのような集合は正の測度を持たなければならないことを証明しました。また、マーストランドは、n=2の場合でも同様のことを証明しました。

k次元ディスクを含む集合

掛屋予想の一般化として、すべての方向における直線のセグメントの代わりに、k次元部分空間の部分を含む集合を考えます。(n, k)-ベシコビッチ集合 Kを、レベーグ測度がゼロであるRⁿ内のコンパクトな集合と定義します。つまり、Bを原点を中心とする単位球とし、任意のk次元部分空間Pに対して、P ∩ Bに対してx ∈ Rⁿが存在し、(P ∩ B) + x ⊆ Kとなるようにします。したがって、(n, 1)-ベシコビッチ集合は、先に述べた標準的なベシコビッチ集合です。

(n, k)-ベシコビッチ予想: k > 1の場合、(n, k)-ベシコビッチ集合は存在しない。

1979年、マーストランド は、(3, 2)-ベシコビッチ集合が存在しないことを証明しました。同時期に、ケネス・ファルコナー は、2k > nの場合、(n, k)-ベシコビッチ集合が存在しないことを証明しました。これまでの最良の境界はブルゲインによって、2^k−1 + k > nの場合には、そのような集合は存在しないことが証明されています。

有限体上の掛屋集合

1999年、ウルフは掛屋問題の有限体に関する類似問題を提起し、この予想を解決するための技法がユークリッドの場合にも応用できることを期待しました。

有限体掛屋予想: Fを有限体とし、K ⊆ Fⁿを掛屋集合とします。すなわち、任意のベクトルy ∈ Fⁿに対して、Kが直線{x + ty : t ∈ F }を含むようにするためのx ∈ Fⁿが存在します。このとき、集合Kは少なくともc_n|F|ⁿのサイズを持ち、ここでc_n>0はnのみに依存する定数です。

ゼエブ・ディヴィールは2008年にこの予想を証明しました。彼は、c_n = 1/n!のときにこの命題が成り立つことを示しました。 彼の証明では、n変数の任意の次数が|F|未満の多項式が掛屋集合上でゼロになる場合、それは恒等的にゼロである必要があることを観察しました。一方、n変数の次数が|F|未満の多項式は次元が

${|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.$

となるベクトル空間を形成します。したがって、与えられた集合がこの数未満の点を持つ場合、次数が|F|未満の非自明な多項式が少なくとも1つ存在することになります。これら2つの観察を組み合わせることで、掛屋集合は少なくとも|F|ⁿ/n!の点を持たなければならないことが示されます。

この技法が元の掛屋予想を証明するために拡張されるかどうかは不明ですが、この証明は本質的に代数的な反例がありそうにないことから、元の予想の信憑性を高めています。ディヴィールは、有限体の掛屋問題に関する進展とそのランダムネス抽出器との関係に関する調査記事を執筆しました。

掛谷針集合の例

半径 0.5 の円板 $s\approx 0.78539$

幅 1 のルーローの三角形 $s\approx 0.70477$

一辺 ${2/{\sqrt {3}}}$ の正三角形 $s\approx 0.57735$

半径 3 / 4 の円に内接するデルトイド $s\approx 0.39270$

外部リンク

• Kakeya at University of British Columbia
• Besicovitch at UCLA
• Kakeya needle problem at mathworld
• Dvir’s proof of the finite field Kakeya conjecture at Terence Tao's blog
• An Introduction to Besicovitch-Kakeya Sets