垂足曲線

垂足曲線（すいそくきょくせん、英: pedal curve）は、曲線の接線に対する、固定された点の直交射影が成す曲線である^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]。より正確に言えば、平面曲線 $C$ と点 $P$ （Pedal point）について、 $P$ を通る $C$ の接線の垂足（接線と垂線の交点） $X$ の軌跡を垂足曲線という。逆に、曲線 $C$ 上の任意の点 $R$ で接する接線 $T$ のある垂線が、ある点 $P$ を通るなら、その接線の垂足は垂足曲線を成す。

垂足曲線を補完するために、四角形 $PXRY$ が長方形となるように点 $Y$ を取る。点 $Y$ の軌跡はcontrapedal curveと呼ばれる。

曲線のorthotomicは、 $P$ を拡大の中心として垂足を2倍に拡大した曲線である。これは、 $P$ を接線 $T$ で鏡映した点の軌跡である。

垂足曲線は、曲線 $C n$ の垂足曲線を $C n +1$ として、 $C 0, C 1, C 2, C 3 ...$ と定義していったときの一連の曲線の最初の曲線である。この曲線内で、 $C n$ を $C 0$ の n th positive pedal curveという。逆に $C 0$ は $C n$ のn番目の負垂足線（nth negative curve）または逆垂足曲線と呼ばれる^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]。

方程式

直交座標によるアプローチ

$P$ を原点とする。また、曲線 $C$ を $F (x, y)=0$ とする。 $C$ 上の点 $R =(x 0, y 0)$ の接線は次の形で書くことができる。

\cos \alpha x+\sin \alpha y=p

このとき位置ベクトル $(cos α, sin α)$ は線分 $PX$ （接線の垂線）と平行で長さが等しい。したがって、 $X$ は極座標で $(p, α)$ と表せる。 $(p, α)$ を $(r, θ)$ で置き換えると極形式の垂足曲線の形を得る^[11]。

楕円（黒）の垂足曲線（赤）。楕円はa=2,b=1で垂足曲線は4x²+y²=(x²+y²)²。

例として、楕円の垂足曲線を挙げる^[12]。楕円の方程式は次の式で表される。

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

楕円上の点 $R =(x 0, y 0)$ における接線は

{\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1

である。これを上記の形に書き換えると次のようになる。

{\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.

楕円の方程式から $x 0, y 0$ を消去（英語版）して

a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2},\,

を得る。 $(r, θ)$ に置き換えると

a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,

となる。この式は容易にデカルト座標の方程式に置き換えることができる。

a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,

極方程式によるアプローチ

$P$ を原点とする。曲線 $C$ を極座標 $r = f (θ)$ で与える。 $R =(r, θ)$ を $C$ 上の点、 $X =(p, α)$ を前項と同様に定義する。 $ψ$ を接線及び動径の偏角として、

r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi

より

$p=r\sin \psi ,\quad \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.$

これらの方程式は $(r, θ)$ を垂足曲線の等式の変数 $(p, α)$ に置き換えることができる^[13]。

例として、円 $r = a cos θ$ の垂足曲線を考える^[14]。

a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi

であるから

\tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .

と、

p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha  \over 2}.

が成り立つ。これらを解いて、

r=a\cos ^{2}{\theta  \over 2}.

垂足方程式によるアプローチ

曲線の垂足座標による表示と垂足曲線は深い関係にある。原点 $P$ をpedal pointとして取る。 $R$ における動径と曲線の成す角 $ψ$ は、垂足曲線の対応する $X$ における角と等しい。 $p$ を垂線の長さ（ $P$ から垂足 $X$ までの距離 $PX$ ）、 $q$ を対応する垂足曲線の $P$ を通る垂線の長さとすれば、三角形の相似より、

{\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.

これより、曲線の垂足方程式を $f (p, r)=0$ として、垂足曲線の垂足方程式は次の式で表せる^[15]。

f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0

この式から曲線のnth positive/negative pedal curveの垂足方程式は簡単に求めることができる

パラメトリック方程式によるアプローチ

楕円のエボリュート曲線の垂足曲線。楕円のcontrapedal curveと一致する。

${\vec {v}}=P-R$ とする。また、 ${\vec {v}}$ を接線ベクトルと法線ベクトル（英語版）に分解して次のように書く。

{\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }

,

${\vec {v}}_{\parallel }$ は $RX$ 方向のベクトルとなる。

$t$ をパラメタとして曲線 $c$ の垂足曲線のパラメトリック方程式は

t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)

で表される（ $c'$ が0または定義できない点は無視する）。

曲線を媒介的に定義して、pedal pointが(0,0)である曲線の垂足曲線は、

X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}

Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.

と表せる。contrapedal curveは次の式で与えることができる。

t\mapsto P-{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)

同じpedal pointでは、contrapedal curveは曲線の縮閉線の垂足曲線と一致する。

幾何学的な性質

点 $P$ を通る直線と、曲線の接線が直角を成すような剛体移動を考える。この角の頂点 $X$ は曲線と $P$ の垂足曲線をたどる。角が動けば $P$ に対する動く方向は $PX$ と平行になり、 $R$ の動く方向は接線 $T (= RX)$ に平行になる。したがって瞬間中心は、 $PX$ の $P$ を通る垂心と、 $RX$ の $R$ を通る垂線の交点 $Y$ である。 $X$ における垂足曲線の接線は $XY$ の $X$ を通る垂線と一致する。

直径を $PR$ とする円は長方形 $PXRY$ に外接し、また $XY$ を直径に持つ。したがって円と垂足曲線はどちらも $XY$ と直交し、 $X$ で接する。故に、垂足曲線はもとの曲線上の点を $R$ として、直径を $PR$ とする円の包絡線となる。

直線 $YR$ は曲線の法線であり、その包絡線は曲線の縮閉線である。故に $YR$ は縮閉線の接線で、 $Y$ は $P$ を通る縮閉線の接線の垂足である。つまり $Y$ は縮閉線の垂足曲線である。よってcontrapedal curveは元の曲線の縮閉線の垂足曲線であることが従う。

$C$ を $P$ を中心に2倍縮小した図形を $C'$ とする。 $R$ に対応する点 $R'$ は長方形 $PXRY$ の中心であり、 $R'$ における $C'$ の接線は $PY,XR$ と平行な直線で、長方形を二等分する。 $P$ から発射され、 $R'$ で $C'$ に衝突して反射する交線は $Y$ を通る。この反射された交線は $C$ の垂足曲線と直交する直線である $XY$ と一致する。垂足曲線に直交する直線の包絡線は、反射された交線の包絡線、 $C'$ の火線（英語版）となる。これは、曲線の火線はorthotomicの縮閉線と一致することの証明に使われる。

前述の様に、 $PR$ を直径とする円が垂足曲線に接する。この円の中心 $R'$ はである。

$D'$ を $C',D'$ の共通接線で鏡映の関係にある合同な曲線として、輪転曲線（英語版）の定義の様に、 $C'$ 上を滑らせずに転がす。ニ曲線が点 $R'$ で接するとすれば、 $P$ と対応する点は $X$ となる。また輪転曲線は垂足曲線となる。同様に、曲線のorthotomicは輪転曲線の鏡映像の輪転曲線となる。

例

$C$ が円であるとき、上記の議論から蝸牛形は以下の様な定義ができる。

円の垂足曲線。
ある固定点と円上の点を直径の両端とする円の包絡線。
中心が円上にあり固定点を通る円の包絡線。
同半径の円上を転がる円の輪転曲線。

円の火線は蝸牛形の縮閉線である。

例

有名な曲線の垂足曲線を挙げる^[16]。

曲線	方程式	垂足点	垂足曲線
円		円周上の点	カージオイド
円		任意の点	蝸牛形（リマソン）
放物線		焦点	頂点における接線
放物線		頂点	ディオクレスのシッソイド
デルトイド		中心	Trifolium
楕円または双曲線		焦点	副円
楕円または双曲線	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	中心	${a^{2}}\cos ^{2}\theta \pm {b^{2}}\sin ^{2}\theta =r^{2}$ (Hippopede)
直角双曲線		中心	ベルヌーイのレムニスケート
対数螺旋		極	対数螺旋
正弦波螺旋	$r^{n}=a^{n}\cos n\theta$	極	$r^{\tfrac {n}{n+1}}=a^{\tfrac {n}{n+1}}\cos {\frac {n}{n+1}}\theta$ (別の正弦波螺旋)

出典

^ 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、148頁。doi:10.11501/1063410。
^ 沢田吾一『微分積分学綱要』富山房、1930年、141-143頁。doi:10.11501/1031308。
^ 窪田忠彦『歯車の幾何学』河出書房、1948年、15頁。doi:10.11501/1159825。
^ 掛谷宗一『積分学』岩波書店、1946年、78-79頁。doi:10.11501/1229809。
^ ジョージ・サーモン著、小倉金之助訳『初等幾何學第2卷空間之部』山海堂、1915年、308頁。doi:10.11501/1082037。
^ 下田卯市『微分積分学』大倉書店、1922年、486-491頁。doi:10.11501/960420。
^ 寺沢寛一『微分学講義』積善館、1910年、340-345頁。doi:10.11501/828996。
^ Edwards p. 165
^ 藤原松三郎『数学解析第1篇』内田老鶴圃、1940年、148頁。doi:10.11501/1212195。
^ 垂足線と言う語はシムソン線を指す場合もある。
^ Edwards p. 164
^ Follows Edwards p. 164 with m=1
^ Edwards p. 164-5
^ Follows Edwards p. 165 with m=1
^ Williamson p. 228
^ Edwards p. 167

J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co.. pp. 161 ff

Benjamin Williamson (1899). An elementary treatise on the differential calculus. Logmans, Green, and Co.. pp. 227 ff

参考文献

Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Internet Archive)
J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. p. 60. ISBN 0-486-60288-5
"Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Pedal Curve". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Contrapedal Curve". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Orthotomic". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、148頁。doi:10.11501/1063410。

[2] 沢田吾一『微分積分学綱要』富山房、1930年、141-143頁。doi:10.11501/1031308。

[3] 窪田忠彦『歯車の幾何学』河出書房、1948年、15頁。doi:10.11501/1159825。

[4] 掛谷宗一『積分学』岩波書店、1946年、78-79頁。doi:10.11501/1229809。

[5] ジョージ・サーモン著、小倉金之助訳『初等幾何學第2卷空間之部』山海堂、1915年、308頁。doi:10.11501/1082037。

[6] 下田卯市『微分積分学』大倉書店、1922年、486-491頁。doi:10.11501/960420。

[7] 寺沢寛一『微分学講義』積善館、1910年、340-345頁。doi:10.11501/828996。

[8] Edwards p. 165

[9] 藤原松三郎『数学解析第1篇』内田老鶴圃、1940年、148頁。doi:10.11501/1212195。

[10] 垂足線と言う語はシムソン線を指す場合もある。

[11] Edwards p. 164

[12] Follows Edwards p. 164 with m=1

[13] Edwards p. 164-5

[14] Follows Edwards p. 165 with m=1

[15] Williamson p. 228

[16] Edwards p. 167

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方程式