ベルヌーイのレムニスケート

ベルヌーイのレムニスケートと二つの焦点

正弦波螺旋
(rⁿ = –1ⁿ cos(nθ), θ = π/2) の極座標系のグラフと対応する直交座標系におけるグラフ。

  n = −2: 直角双曲線

  n = −1: 直線

  n = −1/2: 放物線

  n = 1/2: カージオイド

  n = 1: 円

  n = 2: ベルヌーイのレムニスケート

ベルヌーイのレムニスケート（英: lemniscate of Bernoulli）は極座標の方程式 $$r^{2}=a^{2}\cos 2\theta$$ で表される曲線である。連珠形（れんじゅけい）、連珠線、双紐線、蔓葉線、総角曲線とも呼ばれる。

直交座標の方程式では $$(x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})=0$$ となる。

レムニスケートはヤコブ・ベルヌーイによって1694年に最初に発見され、イタリアの数学者ジュリオ・カルロ・デ・トスキ・ディ・ファニャノによって楕円積分論の事例として詳しく研究された。レオンハルト・オイラーはファニャノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。

性質

ベルヌーイのレムニスケートは、直角双曲線の垂足曲線である。

レムニスケートの重力に関する性質

• カッシーニの卵形線の特殊例と見なすことができる。
• x軸、y軸に対して線対称である。
• 原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線は y=±x となる。原点Oと $\pm {\sqrt {2}}a$ でx軸と交わる。
• 点 (± a, 0) は、レムニスケートの焦点と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「当該任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定値 a² となる。
• 直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。
• 中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。
• ループ1つで囲まれる面積は a² であり、2つ合わせて 2a² となる。
• 区間 $0\leq \theta \leq \varphi$ における曲線の弧長は第一種楕円積分を用いて ${\frac {a}{\sqrt {2}}}F\left(\varphi ,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$ と表される。これにより、曲線の全周長は ${\sqrt {8}}aK\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=2\varpi a$ となる。ここで ϖ はレムニスケート周率と呼ばれ、a を円の半径、レムニスケート周率を円周率と見立てれば、全周長の式は円の周長の式と合致することとなる。
• 極座標の偏角 θ の点における法線とx軸との成す角は、3θ となる。
• 重力の影響下で、レムニスケートの弧の先端からレムニスケート上のある点まで球がレムニスケートに沿って移動する時間は、弧の先端からその点まで直線上に球が移動する時間と等しい。

脚注

関連項目

• レムニスケート
• レムニスケート周率
• レムニスケート楕円関数
• ∞
• ジアン・フランチェスコ・マルファッティ

外部リンク

• ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『レムニスケート』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. “Lemniscate”. mathworld.wolfram.com (英語).
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Lemniscate of Bernoulli”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Lemniscate/ . （英語）
• "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （フランス語）
• Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli （フランス語）