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ベルヌーイのレムニスケート

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ベルヌーイのレムニスケートと二つの焦点
ベルヌーイのレムニスケートは、直角双曲線垂足曲線である。
正弦波螺旋
(rn = –1n cos(), θ = π/2) の極座標系のグラフと対応する直交座標系におけるグラフ。
  n = −2: 直角双曲線
  n = −1: 直線
  n = −1/2: 放物線
  n = 1/2: カージオイド
  n = 1:
  n = 2: ベルヌーイのレムニスケート

ベルヌーイのレムニスケート: lemniscate of Bernoulli)は極座標の方程式

で表される曲線である。連珠形(れんじゅけい)とも呼ばれる。

直交座標の方程式では

となる。

レムニスケートはヤコブ・ベルヌーイによって1694年に最初に発見され、イタリアの数学者ジュリオ・カルロ・ド・トスキ・ディ・ファニャノ英語版によって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。

性質

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  • カッシーニの卵形線の特殊例と見なすことができる。
  • x軸、y軸に対して線対称である。
  • 原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線は y=±x となる。原点Oと でx軸と交わる。
  • a, 0) は、レムニスケートの焦点と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「当該任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定値 a2 となる。
  • 直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。
  • 中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る包絡線はレムニスケートになる。
  • ループ1つで囲まれる面積a2 であり、2つ合わせて 2a2 となる。
  • 区間 における曲線の弧長は第一種楕円積分を用いて と表される。これにより、曲線の全周長 となる。ここで ϖレムニスケート周率と呼ばれ、a半径、レムニスケート周率を円周率と見立てれば、全周長の式は円の周長の式と合致することとなる。
  • 極座標の偏角 θ の点における法線とx軸との成す角は、3θ となる。

関連項目

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外部リンク

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  • ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『レムニスケート』 - コトバンク
  • Weisstein, Eric W. "Lemniscate". mathworld.wolfram.com (英語).
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Lemniscate of Bernoulli”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Lemniscate/ . (英語)
  • "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (フランス語)
  • Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli (フランス語)