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メルテンスの定理(メルテンスのていり、Mertens' theorems)は、1874年にフランツ・メルテンス(英語版)により証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。
素数定理より弱い評価を与えているが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。
p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddb52142215c71a0ad34729a1cb21cde5e1c785)
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+b+o(1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0319316c00b57c7ad827b272b66be18fe24aafa)
![{\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {e^{-\gamma }+o(1)}{\log n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f764731aba4db36459f77dd9151b95679d4a90b)
O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。
また第二定理に現れる定数 b をMeissel–Mertens定数(英語版)という。
第一定理の証明[編集]
素数 p が n の階乗
を割り切る回数を
とおくと
ルジャンドルの公式 より
![{\displaystyle e(n,p)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea89deed1613f3dcc867455abde9eb3661789fb)
であるから
![{\displaystyle {\frac {n}{p}}-1\leq e(n,p)<{\frac {n}{p-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b24fe7ac5f6256f0979c0ac947d17c3d07658f3)
が成り立つ。よって
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}\log p\left({\frac {n}{p}}-1\right)\leq \log n!=\sum _{p}e(n,p)\log p<\sum _{p\leq n}{\frac {n\log p}{p-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfe892eb0d5095d81ea42d88a3428b483cda8f3)
となるから
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\left(\log n!+\sum _{p\leq n}\log p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc2e43a0dc17cfd0b1e821e288dfdbe4b6d8770)
となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}\log p=\theta (n)<2n\log 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b90e3f5b5846dedfb0a04343a7e16611e70caf9)
が成り立ち、階乗の増大度について、
![{\displaystyle \log n!=\sum _{k=1}^{n}\log k=n\log n-n+O(\log n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726bc1c509a8a3daea39b199fe88a0f6352812d7)
がすぐわかる(スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる)から
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\log n!+2\log 2\leq \log n+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffd5a1f373b504dacb003f4b36b6b55b4a69ff2)
となる定数
が存在する。一方
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\geq \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}-C_{2}>{\frac {1}{n}}\log n!-C_{2}\geq \log n-C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671846e3c1b7bf11f11eeeff70c5279f210345b5)
となる定数
が存在することは
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p(p-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log k}{k(k-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\log k}{k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6d4b71c5b57ecb5ffc019bf0cdc63a2e196694)
が収束することからわかる。
第二定理の証明[編集]
とおく。第一定理より
である。よって積分
![{\displaystyle \int _{2}^{x}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874959aea799663b73751bd2b563c2606d467045)
は
のとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}&={\frac {S(n)}{\log n}}+\int _{2}^{n}{\frac {S(t)}{t\log ^{2}t}}dt\\&=1+{\frac {R(n)}{\log n}}+\int _{2}^{n}{\frac {dt}{t\log t}}+\int _{2}^{n}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}\\&=\log \log n+1-\log \log 2+{\frac {R(n)}{\log n}}+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}-\int _{n}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}\\&=\log \log n+1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {R(n)}{\log n}}+O\left(\int _{n}^{\infty }{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}\right)\\&=\log \log n+1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}+O\left({\frac {1}{\log n}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c007c8a389f096e90bfaf2a6e8436014c0f03e)
となるので、第二定理は
![{\displaystyle b=1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dea73542a0efa444d09c2d1f3e1e317d53642fd)
について成り立つ。
第三定理の証明[編集]
収束性は
![{\displaystyle \sum _{p\leq n}-\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}+\sum _{p\leq n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b3478d1edaff8b165a27cc9b9364f7b3071533)
および
![{\displaystyle \sum _{p>n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}=O\left(\sum _{p>n}{\frac {1}{p^{2}}}\right)=O\left({\frac {1}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e6d64b6cfd2b0f72fe94586cca54518731b5fe)
から、第二定理よりすぐに導かれる。
定数部分が
であることの証明は概略のみ述べる。
![{\displaystyle h(s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}},g(s)=h(s)+\log \zeta (s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}-\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right),P(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db7f461cd8f6b8d7046d0eba1aae99e4d745404)
とおく( g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる)。アーベルの総和公式を用いて
![{\displaystyle h(s)=(s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {P(t)}{t^{s}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2263ab33cff48b2ea40c31b6a056197d83640ab)
が得られる。ここで
とおくとオイラーの定数の積分表示から
![{\displaystyle (s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {\log \log t}{t^{s}}}dt=\int _{1}^{\infty }e^{-u}\log {\frac {u}{s-1}}dt=-\gamma -\log(s-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccfd143a5776fcc6f93c279aece3e4e9a7ebf07)
となる。これと第二定理を用いて
![{\displaystyle h(s)+\log(s-1)+\gamma -b\rightarrow 0(s\rightarrow 1+0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b717c2122219404fa91e3597b863502c9fd03e98)
が示せる。
より
![{\displaystyle g(1)=\lim _{s\rightarrow 1+0}g(s)=\lim _{s\rightarrow 1+0}(h(s)+\log \zeta (s))=b-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941076d30c2dd6c795983bf4aeebe738400a560c)
つまり
![{\displaystyle \sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma +b-P(x)+o(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff633a76dea0945a95209e2746980ef0cfea4c5)
である。再び第二定理を用いて
![{\displaystyle \sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma -\log \log n+o(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b43b28e3116246fa0304769d07c1e12092f1564)
が得られ、第三定理が示される。
参考文献[編集]