アーベルの総和公式

アーベルの総和公式（アーベルのそうわこうしき、英: Abel's summation formula）は、級数の変形に関する公式の一つである。部分和分の一種で、級数の大きさの評価に用いられる（この公式による級数の変形を単に部分和分ということもある）。

定理

数列 $(a_{n})_{n=0,1,\cdots }$ と実数 $x\geq 0$ に対し、その総和を $A(x)=\sum _{0\leq n\leq x}a_{n}$ と定める。また関数 $f(t)$ が $0<t<x$ において微分可能とする。このとき

\sum _{n=0}^{x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{0}^{x}A(t)f^{\prime }(t)dt

が成り立つ。

より一般に、 $f(t)$ が $x<t<y$ において微分可能なとき

\sum _{n=x}^{y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(t)f^{\prime }(t)dt

が成り立つ。

この定理はアーベルの級数変形法の特殊な場合である。

また、リーマン＝スティルチェス積分の部分積分の公式でもあり、リーマン＝スティルチェス積分を使って

\int _{x}^{y}fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}Adf

とも表される。

証明については Apostol, 第3章および第4章や Hardy-Wright, 第22章を参照。

調和級数 $\sum _{1\leq n\leq x}{\frac {1}{n}}$ について、 $a_{n}=1(n=1,2,\cdots ),f(t)={\frac {1}{t}}$ とおくと $A(x)=\lfloor x\rfloor$ より

\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor t\rfloor }{t^{2}}}dt=\log x+1-{\frac {\{x\}}{x}}-\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t^{2}}}dt

が成り立つ。このことから

\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}=\log x+\gamma +O\left({\frac {1}{x}}\right)

となる定数 $γ$ が存在することが分かる。この定数 $γ$ はオイラーの定数といわれる。

Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001
Apostol, Tom A. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4. MR0434929. Zbl 0335.10001