ハーディゼータ関数

Z function in the complex plane, plotted with a variant of domain coloring.

Z function in the complex plane, zoomed out.

ハーディゼータ関数（ハーディゼータかんすう、Z_function）は数学において、臨界線に沿ったリーマンゼータ関数を研究するために使用される関数である。

定義式

ハーディゼータ関数はリーマンゼータ関数と リーマン・ジーゲルのシータ関数 を用いて次のようにあらわせる。

$Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).$

$Z(t)$の零点は$\zeta ({\frac {1}{2}}+it)$の非自明零点と一致している。また、$Z(t)$は実関数であり、臨界域において正則である。

リーマン・ジーゲルの公式

臨界線に沿ったゼータ関数の計算は、リーマン・ジーゲルの公式によって

$Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),$

とあらわせる。

ここで誤差項$R(t)$は、

$u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}$, $N=\lfloor u^{2}\rfloor$ , $p=u^{2}-N$ として

$R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)$とあらわせる。

ただし

$\Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}$

である。

他の効率的な$Z(t)$の級数も存在する。特に不完全ガンマ関数を使用する級数が知られている。

$Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du$

特に良い例は

$Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)$

などである。

参考資料

• リーマンゼータ関数 零点の謎｜超入門・リーマン予想 - 空間情報クラブ｜インフォマティクス運営のWebメディア
• Riemann-Siegel Formula -- from Wolfram MathWorld
• Edwards, H.M. (1974). Riemann's zeta function. Pure and Applied Mathematics. 58. New York-London: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Zbl 0315.10035 
• Ivić, Aleksandar (2013). The theory of Hardy's Z-function. Cambridge Tracts in Mathematics. 196. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8. Zbl 1269.11075 
• Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79001-8. Zbl 0983.41019. https://archive.org/details/asymptoticsmelli0000pari 
• Ramachandra, K. (February 1996). Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function. Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research. 85. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58437-4. Zbl 0845.11003 
• Titchmarsh, E. C. (1986). Heath-Brown, D.R.. ed. The Theory of the Riemann Zeta-Function (second revised ed.). Oxford University Press 

関連項目

• リーマンゼータ関数
• リーマン・ジーゲルのシータ関数
• リーマン・ジーゲルの公式

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Riemann–Siegel Functions". mathworld.wolfram.com (英語).
• Wolfram Research – Riemann-Siegel function Z (includes function plotting and evaluation)