リーマン・ジーゲルの公式

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数学におけるリーマン–ジーゲルの公式(リーマン・ジ-ゲルのこうしき、: Riemann–Siegel formula)はリーマンゼータ函数の「近似函数等式」(二つのディリクレ級数の和によるゼータ函数の近似)の誤差項に対する漸近公式英語版である。この公式は、Siegel (1932) が1850年代からのベルンハルト・リーマンの未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれをリーマン–ジーゲル積分公式(ゼータ函数の周回積分表示)から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に(ときには計算を劇的に速くするオドリツコ–シェーンハーゲ・アルゴリズム英語版と組み合わせて)用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はハーディゼータ函数英語版に対する公式となり、しばしば有用である。

M, N を非負整数とするとき、ゼータ函数は

に等しい(近似函数等式)。ただし、
は函数等式 ζ(s) = γ(1 − s) ζ(1 − s) に現れる乗因子で、周回積分
の積分路は +∞ を基点(始点および終点)とし、絶対値高々 2πM の特異点をすべて囲む。

この近似函数等式は誤差項の大きさに対する評価を与える Siegel (1932) および Edwards (1974) では、この誤差項 R(s)ℑm(s) に関する負冪の級数としての漸近展開を与えるために、この積分に最急降下法英語版を適用して、リーマン–ジーゲルの公式を導出している。応用上、s はふつう臨界帯上にとり、正整数 M, N(2πIm(s))1/2 の近くに取る。Gabcke (1979) はリーマン–ジーゲルの公式の誤差に関してよい評価を求めている。

リーマンの積分公式[編集]

リーマンは

を示した。ここで積分路は、01 の間を通過する傾き −1 の直線である (Edwards 1974, 7.9)。

彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。

参考文献[編集]

外部リンク[編集]