ジェリウムモデル

ジェリウム（Jellium）は、正電荷（すなわち原子核）が空間中に一様に分布していると仮定される固体中の相互作用する電子の量子力学的模型である。電子密度もも同様に空間中に一様な量である。均一電子ガスまたは一様電子ガス（uniform electron gas、UEG; homogeneous electron gas、HEG）とも呼ばれる。この模型によって、現実の物質を構成する原子格子および構造を陽に導入することなく、電子の量子的性質とそれらの相互反発相互作用によって起こる固体中の効果に注目することが可能になる。ジェリウムは金属中の非局在化した電子の単純な模型として固体物理学でしばしば使われ、遮蔽、プラズモン、ウィグナー結晶化、フリーデル振動といった現実の金属の特徴を定性的に再現できる。

絶対零度では、ジェリウムの性質は一定の電子密度にのみ依存する。これが密度汎関数理論内での取り扱いに役立つ。ジェリウム模型自身は交換-相関エネルギー密度汎関数への局所密度近似の基礎を与える。

「Jellium」とう用語はコニャーズ・ヘリング（英語版）による造語である。これは「positive jelly」背景とそれが示す典型的な金属的振る舞いを暗示する^[1]。

ジェリウムモデルのみ（例：正電荷のジェリウム＋自由電子）で電子状態の計算が行われる以外にも、バンド計算においては単位胞内で通常電荷の中性が保たれるが、電子が過剰あるいは過少にあると仮定し、そのままの計算ではエバルト項などが発散してしまう場合に使われる。この発散の問題を解消するため、電子が過剰な場合は全体の電荷中性を満たすよう、正（過少なら負）の一様な電荷（→ジェリウム）を分布させる。ただし、これは近似なので、現実の系を正しく記述できてはいない。

ハミルトニアン

電子系のハミルトニアンが

$H^{(e)}=\sum _{i}\left({\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}}{2m}}+V_{L}(\mathbf {r} _{i})\right)-\sum _{i\neq {}j}{\frac {e^{2}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}+E_{I}$

で与えられるときを考える^[2]。ここで、 ${\textstyle V_{L}(\mathbf {r} _{i})}$ は格子ポテンシャルで、 $E_{I}$ はイオンの背景電荷によるエネルギーである。これらは

$V_{L}(\mathbf {r} _{i}):=-\sum _{\lambda }{\frac {Z_{\lambda }e^{2}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} _{\lambda }|}},\ E_{I}:=\sum _{\lambda \neq {}\lambda '}{\frac {Z_{\lambda }Z_{\lambda '}e^{2}}{|\mathbf {R} _{\lambda }-\mathbf {R} _{\lambda '}|}}$

で定義される。ここで $\mathbf {r} _{i}$ は $i$ 番目の電子の位置、 $\mathbf {R} _{\lambda }$ は $\lambda$ 番目のイオンの位置、 $m$ は電子の電荷、 $Z_{\lambda }$ はイオンの価数を表す。ジェリウムモデルでは、格子ポテンシャルを連続体近似して、

V_{L}(\mathbf {r} )=-\sum _{\lambda }{\frac {Z_{\lambda }e^{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\lambda }|}}\simeq -\int {}d^{3}R{\frac {Ze^{2}n_{I}}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}=-n\int {}d^{3}R{\frac {e^{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}

E_{I}=\sum _{\lambda \neq {}\lambda '}{\frac {Z_{\lambda }Z_{\lambda '}e^{2}}{|\mathbf {R} _{\lambda }-\mathbf {R} _{\lambda '}|}}\simeq \iint {}d^{3}Rd^{3}R'{\frac {Z^{2}e^{2}n_{I}^{2}}{|\mathbf {R} -\mathbf {R} '|}}=n^{2}\iint {}d^{3}Rd^{3}R'{\frac {e^{2}}{|\mathbf {R} -\mathbf {R} '|}}.

とする。ここで

n

は電子密度、

{\textstyle n_{I}}

はイオン密度である。

脚注

参考文献

浅野健一　『固体電子の量子論』　東京大学出版会、2019年、16頁。

ハミルトニアン

脚注

参考文献

関連項目