自由電子

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自由電子(じゆうでんし, free electron)とはポテンシャルがいたるところでゼロ、つまり何ら束縛を受けていない電子のこと。

一般向けの説明では伝導電子と同じ意味に用いられ、金属内部には自由電子が存在し、電気伝導や熱伝導を担う、というように説明される。金属結合、バンド理論も参照。実際には通常の金属においても、伝導電子はごく弱くはあるが相互作用を受けており、自由電子として扱うのは一種の理想化である。

この自由電子をモデルとしたものを自由電子モデル（自由電子模型、Free electron model→自由電子近似）と言う。金属の伝導電子のモデルとして使用される（強く束縛を受ける伝導電子などには適用できない）。また、電子同士の多体相互作用も無視している。

自由電子のバンド構造（E-k曲線）は、$E(\mathbf {k} )={\hbar ^{2}k^{2} \over {2m}}$$E(\mathbf{k}) = { \hbar^2 k^2 \over {2m} }$から放物線であり、フェルミ面の形状は球状となる。

フェルミ気体(模型)とも呼ばれる。低温で自由電子はフェルミ縮退の状態にあり、特有の性質を示す。

自由電子モデル

以下、自由電子の質量を m、ディラック定数を ħ とし、温度は絶対零度（T = 5000000000000000000♠0 K）とする。

シュレーディンガー方程式でポテンシャルをゼロとするとエネルギーは波数の二乗に比例する。電子はフェルミ粒子なので同じ状態に1つ（スピン自由度を含めると2つ）しか入ることができず、エネルギー最低の状態から順に詰まっていく。エネルギーの最大値をフェルミエネルギーと呼び、それに相当する波数・運動量をフェルミ波数、フェルミ運動量と呼ぶ。

フェルミ波数　：　$k_{F}\,$$k_F \,$

フェルミ運動量　：　$\hbar k_{F}$$\hbar k_F$

フェルミエネルギー：　$E_{F}={{\hbar ^{2}{k_{F}}^{2}} \over {2m}}$$E_F = { {\hbar^2 {k_F}^2} \over {2m} }$

波数とエネルギーの関係が求まったので、エネルギーの関数である状態密度 D(E) を計算することができる。（→参照：状態密度）

状態密度（一次元）：　$D(E)\simeq {1 \over {\sqrt {E}}}$$D(E) \simeq {1 \over {\sqrt{E}} }$

状態密度（二次元）：　$D(E)=\,constant$$D(E) = \, constant$

状態密度（三次元）：　$D(E)\simeq {\sqrt {E}}$$D(E) \simeq \sqrt{E}$

N個の自由電子（三次元）からなる系の全エネルギーE_totは、

$E_{tot}=\int _{-\infty }^{E_{F}}D(E)EdE={3 \over 5}NE_{F}$$E_{tot} = \int_{-\infty}^{E_F} D(E)E dE = {3 \over 5} N E_F$

となる。これより自由電子一個当りでは、

$\left\langle E\right\rangle ={3 \over 5}E_{F}$$\left\langle E \right\rangle = {3 \over 5} E_F$

となる（⟨E⟩は一個当り〔平均〕を意味する）。

自由電子での体積弾性率 K は、系の体積を Ω として、

$K={2 \over 3}\left({N \over {\Omega }}\right)E_{F}$$K = {2 \over 3} \left( {N \over {\Omega}} \right) E_F$

となる。Kの逆数が圧縮率κで、

$\kappa ={3 \over 2}\left({\Omega \over N}\right){1 \over {E_{F}}}$$\kappa = {3 \over 2} \left( {\Omega \over N} \right) {1 \over {E_F} }$

となる。これは、E_F∝k_F²∝(Ω)^-2/3（フェルミ波数は系の体積の三乗根に反比例する量）及び、$P=-\partial E_{tot}/\partial \Omega$$P = - \partial E_{tot} / \partial \Omega$（P は圧力、E_tot は自由電子の全エネルギー）を使って得られる。

関連項目

• 物性物理学
• ほとんど自由な電子