自由電子

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自由電子(じゆうでんし, free electron)とはポテンシャルがいたるところでゼロ、つまり何ら束縛を受けていない電子のこと。

一般向けの説明では伝導電子と同じ意味に用いられ、金属内部には自由電子が存在し、電気伝導熱伝導を担う、というように説明される。金属結合バンド理論も参照。実際には通常の金属においても、伝導電子はごく弱くはあるが相互作用を受けており、自由電子として扱うのは一種の理想化である。

この自由電子をモデルとしたものを自由電子モデル(自由電子模型、Free electron model→自由電子近似)と言う。金属の伝導電子のモデルとして使用される(強く束縛を受ける伝導電子などには適用できない)。また、電子同士の多体相互作用も無視している。

自由電子のバンド構造E-k曲線)は、から放物線であり、フェルミ面の形状は球状となる。

フェルミ気体(模型)とも呼ばれる。低温で自由電子はフェルミ縮退の状態にあり、特有の性質を示す。

自由電子モデル[編集]

以下、自由電子の質量を mディラック定数ħ とし、温度は絶対零度T = 0 K)とする。

シュレーディンガー方程式でポテンシャルをゼロとするとエネルギーは波数の二乗に比例する。電子はフェルミ粒子なので同じ状態に1つ(スピン自由度を含めると2つ)しか入ることができず、エネルギー最低の状態から順に詰まっていく。エネルギーの最大値をフェルミエネルギーと呼び、それに相当する波数・運動量をフェルミ波数、フェルミ運動量と呼ぶ。

フェルミ波数 : 
フェルミ運動量 : 
フェルミエネルギー: 

波数とエネルギーの関係が求まったので、エネルギーの関数である状態密度 D(E) を計算することができる。(→参照:状態密度

状態密度(一次元): 
状態密度(二次元): 
状態密度(三次元): 

N個の自由電子(三次元)からなる系の全エネルギーEtotは、

となる。これより自由電子一個当りでは、

となる(Eは一個当り〔平均〕を意味する)。

自由電子での体積弾性率 K は、系の体積を Ω として、

となる。Kの逆数が圧縮率κで、

となる。これは、EFkF2∝(Ω)-2/3(フェルミ波数は系の体積の三乗根に反比例する量)及び、P は圧力、Etot は自由電子の全エネルギー)を使って得られる。

関連項目[編集]