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立方根(りっぽうこん、cubic root、root of third power)とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根(さんじょうこん)ともいう。
積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x3 を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立(かいりゅう)という。
a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを
と表す。
- 正の数
に対して、
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-a}}=-{\sqrt[{3}]{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68914fb0f618fdb38c981625754cb56584049cd7)
の虚立方根の一つを
とすると、もう一つの虚立方根は
であり、
,
はともに 1 の原始冪根である。また、
が成り立つ。
![{\displaystyle 1,\quad \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad \omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i={\overline {\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/facb0971d121b4dc063bb0b5b7051c0a82325e5f)
![{\displaystyle \omega =\exp \left(i\cdot \left({\frac {2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad \omega ^{2}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {4\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad {\overline {\omega }}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909c92c2ed0bd14337cd5311a8cca747fb5cebb5)
![{\displaystyle \omega +1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega ^{2},\quad {\overline {\omega }}+1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4964e6a8ee494031fc542b337e8db45d682a6204)
![{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\omega ^{2},\quad {\frac {1}{\omega ^{2}}}=\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d35e325f48aaf4a16cb18143ac8e185d550381)
が
でない複素数ならば、
の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点
を中心とする半径
の円に内接する正三角形の頂点になる。
(オンライン整数列大辞典の数列 A002580)
(オンライン整数列大辞典の数列 A002581)
(オンライン整数列大辞典の数列 A005480)
(オンライン整数列大辞典の数列 A005481)
(オンライン整数列大辞典の数列 A005486)
(オンライン整数列大辞典の数列 A005482)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f378331b0d609846c021c1a0bbff0a4fc1755c3)
(オンライン整数列大辞典の数列 A010581)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}=2.15443469003}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d0527ace9cfc4b66123028f599063e1cf85b5d)
複素数の冪根の幾何学的表現
複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。
![{\displaystyle z^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {z}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a56e02b48220cb8fe918a2d2c54d63345f2ccf1)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e767319c14c714792e51fdf30a95bc404f43df94)
極形式では
![{\displaystyle z=r\exp(i\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da32ed044872416ea4a0caa4cd555b5d2c6b235)
ここで rは非負の実数、
の定義域は以下とする(偏角は多価関数のため)。
,
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6684f1bf083d7d0d163a55eab6f1ee9438c82ec4)
は
(
) が主要根となる(-2(
)ではない)。
主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。
![{\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}<{\frac {\theta }{3}}\leq {\frac {\pi }{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4f43a67447436552be87880b2f1afc03c4ce91)
- 単位円での例
と
の主要根の関係を単位円上で示すと(
、偏角
の例)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{\cos 21^{\circ }+i\sin 21^{\circ }}}=\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387e51a4723a247fabc2f67618260e1d3f21d9ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{-z}}={\sqrt[{3}]{-\cos 21^{\circ }-i\sin 21^{\circ }}}=&{\sqrt[{3}]{\cos(-159^{\circ })+i\sin(-159^{\circ })}}\\=&\cos(-53^{\circ })+i\sin(-53^{\circ })\\=&-\omega (\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ })\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c81303e68b8abb06183f9601c9e3d821be01d65)
- Weisstein, Eric W. "Cube Root". mathworld.wolfram.com (英語).