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'''凸関数'''(とつかんすう、{{lang-en|convex function}})、'''下に凸関数''' ({{en|downward-convex function}}) とは、ある[[区間 (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] |
'''凸関数'''(とつかんすう、{{lang-en|convex function}})、'''下に凸関数''' ({{en|downward-convex function}}) とは、ある[[区間 (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} で、区間内の任意の 2 点 {{mvar|x , y}} と閉区間 {{math|{{!(}}0, 1{{)!}}}} 内の任意の {{mvar|t}} に対して |
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{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}} |
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を満たすものをいう。言い換えれば、[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]](グラフ上およびグラフの上部の点の集合)が[[凸集合]]である関数である。より一般に、[[ベクトル空間]]の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する。 |
を満たすものをいう。言い換えれば、[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]](グラフ上およびグラフの上部の点の集合)が[[凸集合]]である関数である。より一般に、[[ベクトル空間]]の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する。 |
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また、'''狭義凸関数'''とは、任意の異なる 2 点 |
また、'''狭義凸関数'''とは、任意の異なる 2 点 {{mvar|x , y}} と開区間 {{math|(0, 1)}} 内の任意の {{mvar|t}} に対して |
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{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}} |
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}} |
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を満たす関数である |
を満たす関数である(従って、下に凸な関数の事である)。 |
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−''f'' が凸関数のとき、 |
{{math|−''f''}} が凸関数のとき、{{mvar|f}} を'''凹関数'''(おうかんすう、{{en|[[:en:Concave function|concave function]]}})と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。 |
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== 凸関数の性質 == |
== 凸関数の性質 == |
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凸開区間 |
凸開区間 {{mvar|C}} で定義された凸関数 {{mvar|f}} は[[連続 (数学)|連続]]で、[[高々可算]]個の点を除いて[[微分可能]]である。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。 |
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{{mvar|f}} が連続関数ならば、凸関数であるためには、任意の {{mvar|x, y}} に対して |
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:<math>f \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{f(x) + f(y)}{2}</math> |
:<math>f \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{f(x) + f(y)}{2}</math> |
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を満たせば十分である。この条件は、凸関数の定義中の不等式で、特に ''t'' = 1/2 の式である。 |
を満たせば十分である。この条件は、凸関数の定義中の不等式で、特に {{math|''t'' {{=}} 1/2}} の式である。 |
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区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調非減少]]であることである。 |
区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調非減少]]であることである。 |
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また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この[[逆]]は成立しない。例えば、''y'' = ''x'' {{sup|4}} は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。 |
また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この[[逆]]は成立しない。例えば、{{math|''y'' {{=}} ''x'' {{sup|4}}}} は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。 |
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より一般的に、[[滑らかな関数|''C'' {{sup|2}} 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。 |
より一般的に、[[滑らかな関数|{{math|''C'' {{sup|2}}}} 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。 |
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{{mvar|f , g}} が凸関数であるとき、非負の {{mvar|a , b}} について {{math|''af'' + ''bg''}} は凸関数である。同様に、{{math|max {{(}}''f'' , ''g'' {{)}}}} も凸関数である。 |
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凸関数の[[極小値]]は[[最小値]]である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら 1 点である。 |
凸関数の[[極小値]]は[[最小値]]である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら 1 点である。 |
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{{mvar|f}} が凸関数のとき、[[レベル集合]] {{math|{{(}}''x'' {{!}} ''f'' (''x'' ) < ''a'' {{)}}}} と {{math|{{(}}''x'' {{!}} ''f'' (''x'' ) ≤ ''a'' {{)}}}} は、任意の {{math|''a'' ∈ '''R'''}} について凸集合である。 |
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== 対数凸関数 == |
== 対数凸関数 == |
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定義域において非負であり、その[[対数]]が凸である関数を'''対数凸関数''' (logarithmically convex function) という。対数凸関数は、それ自体凸関数である。 |
定義域において非負であり、その[[対数]]が凸である関数を'''対数凸関数''' ({{en|''logarithmically convex function''}} ) という。対数凸関数は、それ自体凸関数である。 |
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== 例 == |
== 例 == |
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*''x'' {{sup|2}} は凸関数であるが、対数凸関数ではない。 |
*{{math|''x'' {{sup|2}}}} は凸関数であるが、対数凸関数ではない。 |
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*''x'' {{sup|3}} は ''x'' > 0 において凸関数であり、''x'' < 0 において凹関数である。 |
*{{math|''x'' {{sup|3}}}} は {{math|''x'' > 0}} において凸関数であり、{{math|''x'' < 0}} において凹関数である。 |
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*[[指数関数]] '' |
*[[指数関数]] {{math|e''{{sup|x}}''}} は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。 |
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*[[ガンマ関数]] Γ(''x'' ) は ''x'' > 0 において対数凸関数である。 |
*[[ガンマ関数]] {{math|Γ(''x'' )}} は {{math|''x'' > 0}} において対数凸関数である。 |
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*[[絶対値]]関数 |''x'' |
*[[絶対値]]関数 {{math|{{!}}''x'' {{!}}}} は {{math|''x'' {{=}} 0}} で微分不可能であるが凸関数である。 |
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*区間 |
*区間 {{math|{{!(}}0, 1{{)!}}}} 上で、{{math|''f'' (0) {{=}} ''f'' (1) {{=}} 1, 0 < ''x'' < 1}} のとき {{math|''f'' (''x'' ) {{=}} 0}} で定義された {{mvar|f}} は不連続であるが、凸関数である。 |
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*[[線形写像]]は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。 |
*[[線形写像]]は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。 |
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*[[アフィン写像]]は凸関数であり、凹関数でもある。 |
*[[アフィン写像]]は凸関数であり、凹関数でもある。 |
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*[[劣モジュラ関数]] |
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*[[ルジャンドル変換]] |
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2014年6月16日 (月) 23:19時点における版
凸関数(とつかんすう、英語: convex function)、下に凸関数 (downward-convex function) とは、ある区間で定義された実数値関数 f で、区間内の任意の 2 点 x , y と閉区間 [0, 1] 内の任意の t に対して
を満たすものをいう。言い換えれば、エピグラフ(グラフ上およびグラフの上部の点の集合)が凸集合である関数である。より一般に、ベクトル空間の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する。
また、狭義凸関数とは、任意の異なる 2 点 x , y と開区間 (0, 1) 内の任意の t に対して
を満たす関数である(従って、下に凸な関数の事である)。
−f が凸関数のとき、f を凹関数(おうかんすう、concave function)と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。
凸関数の性質
凸開区間 C で定義された凸関数 f は連続で、高々可算個の点を除いて微分可能である。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。
f が連続関数ならば、凸関数であるためには、任意の x, y に対して
を満たせば十分である。この条件は、凸関数の定義中の不等式で、特に t = 1/2 の式である。
区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が単調非減少であることである。
また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この逆は成立しない。例えば、y = x 4 は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。
より一般的に、C 2 級関数が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、ヘッセ行列が半正値であることである。
f , g が凸関数であるとき、非負の a , b について af + bg は凸関数である。同様に、max {f , g } も凸関数である。
凸関数の極小値は最小値である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら 1 点である。
f が凸関数のとき、レベル集合 {x | f (x ) < a } と {x | f (x ) ≤ a } は、任意の a ∈ R について凸集合である。
対数凸関数
定義域において非負であり、その対数が凸である関数を対数凸関数 (logarithmically convex function ) という。対数凸関数は、それ自体凸関数である。
例
- x 2 は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
- x 3 は x > 0 において凸関数であり、x < 0 において凹関数である。
- 指数関数 ex は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。
- ガンマ関数 Γ(x ) は x > 0 において対数凸関数である。
- 絶対値関数 |x | は x = 0 で微分不可能であるが凸関数である。
- 区間 [0, 1] 上で、f (0) = f (1) = 1, 0 < x < 1 のとき f (x ) = 0 で定義された f は不連続であるが、凸関数である。
- 線形写像は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。
- アフィン写像は凸関数であり、凹関数でもある。
原点に対して凸
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経済学においては、曲線が原点に向かって弓なりに突き出した形になっていることを原点に対して凸[1]、または原点に向かって凸[2]と言う。
脚注
- ^ 芦谷 (2009)、p. 51。
- ^ 神部、寶多、濱田 (2006)、p. 99。
参考文献
- 芦谷政浩『ミクロ経済学』有斐閣、2009年。ISBN 978-4-641-16350-8。
- 神部伸輔; 寶多康弘; 濱田弘潤『ミクロ経済学をつかむ』有斐閣、2006年。ISBN 4-641-17700-7。