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2012年10月31日 (水) 13:04時点における版

流体力学における循環 (じゅんかん、英: circulation) とは閉曲線上での流体の速度の線積分である。循環は Γ と表されることが多い。渦の強さを表し、非粘性バロトロピック流体の保存外力下では流れにそって保存する。

閉曲線 C に沿った循環 Γ は、流体の速度を v 、曲線の微小線要素ベクトルを dl として、線積分

{\it {\Gamma }}=\oint _{C}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}

で表せる^[1]。

循環と渦度

ストークスの定理によって、循環は渦度と以下のように関連付けされる。

{\begin{aligned}{\it {\Gamma }}&=\oint _{C}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\\&=\int _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\end{aligned}}

ただし、積分経路 C は閉曲線であるだけでなく、面積要素 S の境界 C = ∂S でなければいけない。ここで

{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}

は渦度である。

循環と渦定理

以下の定理が成り立つ。

ケルビンの渦定理「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である^[1]。」
ヘルムホルツの渦定理

「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である^[2]」

ラグランジュの渦定理「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦は生成不滅である。^[2]。」

循環と揚力

フレデリック・ランチェスター、マーティン・ウィルヘルム・クッタ（英語版）、そして、ニコライ・ジュコーフスキーらがそれぞれ独立に、循環の概念を使って揚力を説明した^[3]。

非粘性流体の２次元非回転非圧縮流れにおいて、水平方向( x 方向)に一様な速度 U の流れを考える。奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる力の鉛直成分( y 成分)、すなわち、揚力 L は物体を囲む閉曲線に沿った循環 Γ と流体の密度 ρ とを使って

L=-\rho U{\it {\Gamma }}

で表される。これはクッタ・ジュコーフスキーの定理と呼ばれる^[3]。

出典

^ ^a ^b 巽友正『流体力学』（1982年 4月15日初版発行）培風館。ISBN 456302421X。
^ ^a ^b 今井功『流体力学(前編)』（1973年11月25日発行）裳華房。ISBN 4785323140。
^ ^a ^b P.K. Kundu; I.M. Cohen; D.R. Dowling (2011). Fluid Mechanics Fifth Edition. Academic Press. ISBN 0123821002

[巽-1] 巽友正『流体力学』（1982年 4月15日初版発行）培風館。ISBN 456302421X。

[今井-2] 今井功『流体力学(前編)』（1973年11月25日発行）裳華房。ISBN 4785323140。

[kundu-3] P.K. Kundu; I.M. Cohen; D.R. Dowling (2011). Fluid Mechanics Fifth Edition. Academic Press. ISBN 0123821002

[1]

[2]

[3]

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 {{連続体力学}}
-[[流体力学]]における'''循環''' (じゅんかん、[[英語]]：circulation) とは閉曲線上での[[流体]]の[[速度]]の[[線積分]]である。循環は <math>\it\Gamma</math> と表されることが多い。[[渦]]の強さを表し、[[非粘性]][[バロトロピック流体]]の[[保存力|保存外力]]下では流れにそって保存する。
+[[流体力学]]における'''循環''' (じゅんかん、{{lang-en-short|circulation}}) とは閉曲線上での[[流体]]の[[速度]]の[[線積分]]である。循環は ''Γ'' と表されることが多い。[[渦]]の強さを表し、[[非粘性]][[バロトロピック流体]]の[[保存力|保存外力]]下では流れにそって保存する。
-閉曲線 <math>C</math> に沿った循環 <math>{\it\Gamma}</math> は、流体の速度を <math>\boldsymbol{v}</math> 、曲線の微小線要素ベクトルを <math>\mathrm{d}\boldsymbol{l}</math> として、線積分
+閉曲線 ''C'' に沿った循環 ''Γ'' は、流体の速度を '''''v''''' 、曲線の微小線要素ベクトルを d'''''l''''' として、線積分
 :<math>
 {\it\Gamma}=\oint_{C} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
 </math>
-で表せる。<ref name="巽">
+で表せる<ref name="巽">
 {{cite book|和書
 | author=巽友正
@@ 14行目: / 14行目: @@
 | isbn=456302421X
 }}
-</ref>
+</ref>。
 == 循環と渦度 ==
 [[ストークスの定理]]によって、循環は[[渦度]]と以下のように関連付けされる。
-:<math> \begin{align}
+:<math>\begin{align}
 {\it\Gamma}
-&=\oint_{C}\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\\
+&=\oint_{C} \boldsymbol{v}      \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}\\
-&=\int_S \boldsymbol{\omega} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
+&=\int_S    \boldsymbol{\omega} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
 \end{align}</math>
-ただし、積分経路 <math>C</math> は閉曲線であるだけでなく、面積要素 <math>S</math> の境界 <math>C=\partial S</math> でなければいけない。ここで
+ただし、積分経路 ''C''  は閉曲線であるだけでなく、面積要素 ''S'' の境界 ''C'' = ∂''S'' でなければいけない。ここで
 :<math>\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{v}</math>
 は渦度である。<!--渦度とは微小なループに囲まれた単位面積あたりの循環に等価である。-->
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 == 循環と渦定理 ==
 以下の定理が成り立つ。
-* [[ケルビンの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である。 <ref name="巽"/>」
+* [[ケルビンの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である<ref name="巽"/>。」
-* [[ヘルムホルツの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である。<ref name="今井">
+* {{仮リンク|ヘルムホルツの渦定理|en|Helmholtz's theorems}}
+「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である<ref name="今井">
 {{cite book|和書
 | author=今井功
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 }}
 </ref>」
-* [[ラグランジュの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦は生成不滅である。<ref name="今井"/>」
+* [[ラグランジュの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦は生成不滅である。<ref name="今井"/>。」
 == 循環と揚力 ==
-[[フレデリック・ランチェスター]]、[[マーティン・ウィルヘルム・クッタ]] ([[:en:Martin Wilhelm Kutta]])、そして、[[ニコライ・ジュコーフスキー]]らがそれぞれ独立に、循環の概念を使って[[揚力]]を説明した。<ref name="kundu">
+[[フレデリック・ランチェスター]]、{{仮リンク|マーティン・ウィルヘルム・クッタ|en|Martin Wilhelm Kutta}}、そして、[[ニコライ・ジュコーフスキー]]らがそれぞれ独立に、循環の概念を使って[[揚力]]を説明した<ref name="kundu">
 {{cite book
 | author1=P.K. Kundu
@@ 52行目: / 53行目: @@
 | isbn=0123821002
 }}
-</ref>
+</ref>。
-非粘性流体の２次元非回転非圧縮流れにおいて、水平方向( <math>x</math> 方向)に一様な速度 <math>U</math> の流れを考える。奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる力の鉛直成分( <math>y</math> 成分)、すなわち、[[揚力]] <math> L </math> は物体を囲む閉曲線に沿った循環 <math> {\it\Gamma} </math> と流体の密度 <math> \rho </math> とを使って
+非粘性流体の２次元非回転非圧縮流れにおいて、水平方向( ''x'' 方向)に一様な速度 ''U'' の流れを考える。奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる力の鉛直成分( ''y'' 成分)、すなわち、[[揚力]] ''L'' は物体を囲む閉曲線に沿った循環 ''Γ'' と流体の密度 ''ρ'' とを使って
 :<math>
 L = -\rho U {\it\Gamma}
 </math>
-で表される。これは[[クッタ・ジュコーフスキーの定理]]と呼ばれる。<ref name="kundu"/>
+で表される。これは[[クッタ・ジュコーフスキーの定理]]と呼ばれる<ref name="kundu"/>。
 == 関連項目 ==
 * [[渦度]]
 * [[ビオ・サバールの法則]]
-* [[クッタの条件]] ([[:en:Kutta condition]])
+* {{仮リンク|クッタの条件|en|Kutta condition}}
 * [[クッタ・ジュコーフスキーの定理]]
 * [[ケルビンの渦定理]]
+* {{仮リンク|ヘルムホルツの渦定理|en|Helmholtz's theorems}}
+* [[ラグランジュの渦定理]]
 == 出典 ==
 {{reflist}}