超弾性

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連続体力学
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超弾性(ちょうだんせい、Hyperelasticity)とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数(単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル)を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十%~数百%の大ひずみ状態を想定している。

構成則[編集]

弾性とは、ある位置の応力がそこの変形勾配で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力を用いると、

と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期における状態とにおける状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数が得られる。

と考えると、

と書ける。 これを:と比較すると、

と書ける。結局、

と表される。ここで、 より、の関数として表す。

より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力について同様の式展開を行うと、

となる。

非圧縮性を有する場合[編集]

まず、で表記したの式を次のように変形する。

非圧縮性を有することから、に代入して、

を得る。二つの式を比較して、

を得る。今、は任意の係数を表す。微圧縮性の場合はのままの方が便利なので、を代入していない。変形すると、

ここで、と定義すると、

上の結果から、

のときにのみ一致する。これは、となるときに成立する。ここで、によって新たな関数を定義する。を用いると、となることが次のように示される。

ここで、 を用いた。

非圧縮性の場合、で代替できるため、の式は次のように表される。

偏差成分は、

である。通常は、は等しくないが、非圧縮性を有する場合、より成立する。

参考文献[編集]

  • 京谷孝史 『よくわかる連続体力学ノート』 森北出版、2008年12月。ISBN 978-4-627-94811-2
  • 社団法人 土木学会 応用力学委員会 編:いまさら聞けない計算力学の常識,丸善,2008.
  • Richard, D. Wood. (2008). Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis (2nd edition ed.). Cambridge University Press.