循環 (流体力学)

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流体力学における循環 (じゅんかん、英語：circulation) とは閉曲線上での流体の速度の線積分である。循環は ${\it {\Gamma }}$ と表されることが多い。渦の強さを表し、非粘性バロトロピック流体の保存外力下では流れにそって保存する。

閉曲線 $C$ に沿った循環 ${\it {\Gamma }}$ は、流体の速度を ${\boldsymbol {v}}$ 、曲線の微小線要素ベクトルを $\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}$ として、線積分

${\it {\Gamma }}=\oint _{C}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}$

で表せる。

循環と渦度

ストークスの定理によって、循環は渦度と以下のように関連付けされる。

${\begin{aligned}{\it {\Gamma }}&=\oint _{C}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\\&=\int _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\end{aligned}}$

ただし、積分経路 $C$ は閉曲線であるだけでなく、面積要素 $S$ の境界 $C=\partial S$ でなければいけない。ここで

${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}$

は渦度である。

循環と渦定理

以下の定理が成り立つ。

• ケルビンの渦定理 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である。 」
• ヘルムホルツの渦定理 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である。」
• ラグランジュの渦定理 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦は生成不滅である。」

循環と揚力

フレデリック・ランチェスター、マーティン・ウィルヘルム・クッタ (en:Martin Wilhelm Kutta)、そして、ニコライ・ジュコーフスキーらがそれぞれ独立に、循環の概念を使って揚力を説明した。

非粘性バロトロピック流体の２次元流れにおいて、水平方向( $x$ 方向)に一様な速度 $U$ の流れを考える。奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる力の鉛直成分( $y$ 成分)、すなわち、揚力 $L$ は物体を囲む閉曲線に沿った循環 ${\it {\Gamma }}$ と流体の密度 $\rho$ とを使って

$L=-\rho U{\it {\Gamma }}$

で表される。これはクッタ・ジュコーフスキーの定理と呼ばれる。

関連項目

• 渦度
• ビオ・サバールの法則
• クッタの条件 (en:Kutta condition)
• クッタ・ジュコーフスキーの定理
• ケルビンの渦定理