循環 (流体力学)

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流体力学における循環 (じゅんかん、英語：circulation) とは閉曲線上での流体の速度の線積分である。循環は ${\it {\Gamma }}$ と表されることが多い。

閉曲線 $C$ に沿った循環 ${\it {\Gamma }}$ は、流体の速度を ${\boldsymbol {v}}$ 、曲線の微小線要素ベクトルを $\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}$ として、線積分

${\it {\Gamma }}=\oint _{C}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}$

で表せる。

循環と渦度

ストークスの定理によって、循環は渦度と以下のように関連付けされる。

${\begin{aligned}{\it {\Gamma }}&=\oint _{C}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\\&=\int _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\end{aligned}}$

ただし、積分経路 $C$ は閉曲線であるだけでなく、面積要素 $S$ の境界 $C=\partial S$ でなければいけない。ここで

${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}$

は渦度である。

循環と渦定理

以下の定理が成り立つ。

• ケルビンの渦定理 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である。 」
• ヘルムホルツの渦定理 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である。」
• ラグランジュの渦定理 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦は生成不滅である。」

循環と揚力

フレデリック・ランチェスター、マーティン・ウィルヘルム・クッタ (en:Martin Wilhelm Kutta)、そして、ニコライ・ジュコーフスキーらがそれぞれ独立に、循環の概念を使って揚力を説明した。

非粘性流体の２次元流れにおいて、奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる揚力 ${\boldsymbol {F}}_{L}$ は物体を囲む閉曲線に沿った循環 ${\it {\Gamma }}$ と流体の密度 $\rho$ と流体に対する物体の速度 ${\boldsymbol {V}}$ の積

$|{\boldsymbol {F}}_{L}|=\rho |{\boldsymbol {V}}||{\it {\Gamma }}|$

で表される。これはクッタ・ジュコーフスキーの定理と呼ばれる。

関連項目

• 渦度
• ビオ・サバールの法則
• クッタの条件 (en:Kutta condition)
• クッタ・ジュコーフスキーの定理
• ケルビンの渦定理