「台形公式」の版間の差分

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(from en:Trapezium rule(16:41, 27 May 2007 UTC)を翻訳)
 
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[[数学]]において、'''台形公式'''(だいけいこうしき、''Trapezium rule'')もしくは'''台形則'''(だいけいそく)は[[積分|定積分]]を[[近似]]計算するための方法の 1つである。
[[Image:trapezoidal_rule_illustration.png|right|thumb|関数''f''(''x'') (青線)を線形関数で近似(赤線)。]]
[[Image:Composite trapezoidal rule illustration.png|right|thumb|合成台形公式の図(不等間隔の例).]]
[[数学]]において、'''台形公式'''もしくは'''台形則'''は[[積分|定積分]]を計算するための方法である。
 
== 概要 ==
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\,dx</math>
台形公式は[[ニュートン・コーツの公式]]と呼ばれる[[数値積分]]の公式のひとつである。被積分関数を[[一次関数]]で近似し、[[台形]]の面積の公式に帰着させて積分の近似値を求める方法である。一次関数による近似なので精度はそれほど期待できず、[[二次関数]]で近似する[[シンプソンの公式]]などの方が精度が高い。
 
シンプソンの公式やその他の類似の手法は、2階連続微分可能な関数に対する台形公式の改良とみなせるが、細かく変動しない荒い関数に対しては台形公式で十分であり、計算も簡単である。
台形公式は関数<math>f(x)</math>の面積を[[台形]]で近似して計算するもので、以下の式に従う。
 
台形公式の利点は、近似誤差が容易に分かることである。[[凸関数]]に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ多くなる。[[凹関数]]に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ多くなる。また積分区間が変曲点を含むとき誤差は小さくなる。
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}</math>
この積分をより正確に計算する方法には、積分区間<math>[a, b]</math>をより小さい''n''個のサブ区間に分け、それぞれを台形で近似することである。これにより以下に示す''合成台形公式''を得る。:
 
同じニュートン・コーツの公式にある[[シンプソンの公式]]はより精度が高い。シンプソンの公式やその他の類似の手法は、2階連続微分可能な関数に対する台形公式の改良とみなせるが、荒い関数に対しては台形公式のほうが望ましい。さらに、台形公式は[[周期関数]]をその周期よりも長い区間積分する場合にはきわめて精度が高くなる傾向がある。これは[[オイラーの和公式]]との関係をみると良く理解できる。しかしながら非周期関数に対しては一般に、 [[Gaussの求積法]]や[[クレーンショー・カーチス数値積分則]]のような非等分点法の方がより精度が高い。
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right)</math>
 
== 台形による近似 ==
これは以下のようにも書ける:
[[Image:trapezoidal_rule_illustration.png|right|thumb|関数''f''(''x'') (青線)を線形関数で近似(赤線)。]]
[[Image:Composite trapezoidal rule illustration.png|right|thumb|合成台形公式の図(不等間隔の例).]]
 
''x'' &isin;(''a'',''b'') のとき ''f''(''x'') &gt; 0 とする。
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2n} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right)</math>
定積分
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\,dx</math>
の値は、''xy''座標平面上で ''y'' = ''f''(''x'') と ''x'' 軸、 ''x'' = ''a''、 ''x'' = ''b'' とで囲まれた図形の[[面積]]になる。一般に積分計算は複雑であることも多いが、近似値が欲しいだけであれば ''f''(''x'') を[[一次関数]]で近似することによりこの図形は[[台形]]とみなすことができるので
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}</math>
のように、台形の面積公式を用いて簡単に計算できる。
 
この公式は ''y'' = ''f''(''x'') が直線に近いほど精度がよくなるが、直線とは全く異なる曲線であれば精度が悪くなり欲しい近似値を得ることが難しくなってくる。そこで、この積分をより正確に計算するために、
但し
:''a'' = ''a''<sub>0</sub> &le; ''a''<sub>1</sub> &le; &hellip; &le; ''a''<sub>''n''</sub> = ''b''
として積分区間 [''a'', ''b''] をより小さい''n''個の部分区間 [''a''<sub>0</sub>,''a''<sub>1</sub>], [''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>], &hellip; [''a''<sub>''n''&minus;1</sub>,''a''<sub>''n''</sub>] に分け、それぞれの区間で台形公式を用いて近似する。
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{a_{k-1}}^{a_k} f(x)\, dx \approx \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})\frac{f(a_{k-1}) + f(a_k)}{2}</math>
 
さらに[[区間 (数学)|区間]]の幅が
: <math>x_k=a+k \frac{b-a}{n},</math> for <math>k=0, 1, \dots, n</math>である。(分割間隔は均等でない場合もある)
:<math> a_k - a_{k-1} = \frac{b-a}{n}</math>
と一定になるように
:<math>a_k = a+k\frac{b-a}{n},(k=0\ldots n)</math>
ととることで
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \sum_{k=1}^{n}(b-a)\frac{f(a_{k-1}) + f(a_k)}{2n}</math>
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx= \frac{b-a}{2n} \left(f(x_0a_0) + 2f(x_1a_1) + 2f(x_2a_2)+\cdots+2f(x_a_{n-1}) + f(x_na_n) \right)</math>
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx= \frac{b-a}{n} \left(\{ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right)\}</math>
という公式が得られる。
 
台形公式は[[ニュートン・コーツの公式]]と呼ばれる[[数値積分]]の公式のひとつである。
同じニュートン・コーツの公式にある[[シンプソンの公式]]はより精度が高い。シンプソンの公式やその他の類似の手法は、2階連続微分可能な関数に対する台形公式の改良とみなせるが、荒い関数に対しては台形公式のほうが望ましい。さらに、台形公式は[[周期関数]]をその周期よりも長い区間積分する場合にはきわめて精度が高くなる傾向がある。これは[[オイラーの和公式]]との関係をみると良く理解できる。しかしながら非周期関数に対しては一般に、 [[Gaussの求積法]]や[[クレーンショー・カーチス数値積分則]]のような非等分点法の方がより精度が高い。
 
台形公式の利点は、近似誤差が容易に分かることである。[[凸関数]]に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ多くなる。[[凹関数]]に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ多くなる。また積分区間が変曲点を含むとき誤差は小さくなる。
==関連項目==
* [[数値解析]]
*[http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/TrapezoidalRuleMod.html Trapezoidal Rule for Numerical Integration] (英語)
 
{{DEFAULTSORT:たいけいこうしき}}
[[Category:数値積分]]
[[Category:数学に関する記事]]

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