シンプソンの公式

関数 $f(x)$（青） の、二次関数 $P(x)$ （赤）による近似。

シンプソンの公式（シンプソンのこうしき、英: Simpson's rule) とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

の近似値を、関数 $f(x)$ を二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンに因んでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。

基本

シンプソンの公式は、$f(x)$ を二次関数 $P(x)$ で近似することによって導かれる。ここで、$P(x)$ は $f(x)$ の a, b, m における値をそれぞれとる［m は“中点”、すなわち a + b/2]。$P(x)$ は、ラグランジュ補間によって、次の多項式（$x$ の二次式）になることが分かる。

$P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.$

この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].$

シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、a と b の間にある ξ によって、次式で見積もれる（h の5次式）。

$-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$

ただし、h = (b − a)/2。さらに $f(x)$ が2回微分可能で $f''$ が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。

$(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}h^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].$

合成シンプソン公式

シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることが分かる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間に分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式 (composite Simpson's rule) として知られている。

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.$

ただし、n は [a, b] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、h = b − a/n は各部分区間の長さ、$x_{i}=a+ih$ $(i=0,...,n)$、特に、$x_{0}=a,\$ $x_{n}=b$。この式は、次のようにも書ける。

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+\dotsb +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.$

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。

$-{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ).$

関連記事

• ニュートン・コーツの公式

参考文献

• Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis, (7th Ed). Brooks/Cole. ISBN 0534382169 

外部リンク

• 『シンプソンの公式の証明と例題』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". MathWorld (英語).