強位相 (極位相)

函数解析学と関連する数学の分野において、強位相（きょういそう、英: strong topology）とは、最も細かい（英語版）極位相、すなわちある双対組上で最大の開集合を伴う位相である。最も粗い（英語版）極位相は弱位相と呼ばれる。

定義[編集]

$(X,Y,\langle ,\rangle )$ を、実数 ${\mathbb {R} }$ あるいは複素数 ${\mathbb {C} }$ の体 ${\mathbb {F} }$ 上のベクトル空間の双対組とする。 ${\mathcal {B}}$ を、次に述べる意味で $Y$ の元によって評価されているすべての部分集合 $B\subseteq X$ の系とする。

\forall y\in Y\qquad \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .

このとき、 $Y$ 上の強位相 $\beta (Y,X)$ は、次の形の半ノルムによって生成される $Y$ 上の局所凸位相として定義される。

\|y\|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.

$X$ が局所凸空間であるような特別な場合には、（連続）双対空間 $X'$ （すなわち、すべての連続線型汎函数 $f:X\to {\mathbb {F} }$ の空間）上の強位相は、強位相 $\beta (X',X)$ で定義され、それは $X$ 内の有界集合（英語版）の一様収束位相、すなわち次の形状の半ノルムによって生成される $X'$ 上の位相と一致する。

\|f\|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad f\in X'.

ただし $B$ は $X$ 内のすべての有界集合（英語版）の族について考えられる。この位相を備える空間 $X'$ は、空間 $X$ の強双対空間（strong dual space）と呼ばれ、 $X'_{\beta }$ と記述される。

例[編集]

$X$ がノルム線型空間であるなら、強位相を伴うその（連続）双対空間 $X'$ は、バナッハ双対空間 $X'$ 、すなわち作用素ノルムによって誘起される位相を伴う空間 $X'$ と一致する。逆に、 $X$ 上の $\beta (X,X')$ -位相は、 $X$ 上のノルムによって誘起される位相と一致する。