弱位相

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数学における弱位相(じゃくいそう、: weak topology)は、始位相英語版の代わりとなる語である。この語は、連続双対に関する(ノルム線型空間のような)線型位相空間の始位相を表すために最もよく用いられる。この記事ではこの場合を扱う。これは函数解析学の概念の一つである。

線型位相空間の部分集合が弱閉(あるいは弱コンパクト)であるとは、それらが弱位相に関して(あるいはコンパクト)であることをいう。同様に、函数が弱位相に関して連続(あるいは微分可能、解析的など)の場合、しばしば弱連続(あるいは弱微分可能弱解析的など)と呼ばれる。

弱位相と強位相[編集]

K位相体、すなわち加法、乗法および除法が連続であるような位相を伴うとする。多くの応用において K はよくある位相を伴う複素数あるいは実数の体のいずれかである。XK 上の線型位相空間とする。すなわち X はベクトル加法とスカラー乗法英語版が連続であるような位相を備える K ベクトル空間である。

連続(あるいは位相)双対空間 X* を用いて、X 上の異なる位相を定義することが出来ることもある。その位相双対空間は、与えられた位相に関して連続であるような X から基礎体 Kへのすべての線型函数からなる。X 上の弱位相は、X* に関する始位相英語版である。言い換えると、それは X* の各元が連続函数であるような(最も開集合が少ない位相)最も粗い位相である。弱位相を X 上の元の位相と区別するために、元の位相はしばしば強位相(strong topology)と呼ばれる。

弱位相に対する準開基英語版は、φ ∈ X* と基礎体 K の開部分集合 U に対して φ−1(U) という形を取る集合の集まりである。言い換えると、X の部分集合が弱位相において開であるための必要十分条件は、それが φ−1(U) の形を取る高々有限個の集合の共通部分であるような(無限個の場合もある)集合の合併として表現できることである。

より一般に、F代数的双対空間の部分集合であるなら、F に関する X の始位相 σ(X,F) は「F に関する弱位相」である。FX の連続双対空間全体であるように取ると、F に関する弱位相は上述の定義における弱位相と一致する。

K絶対値 | • | を持つなら、弱位相 σ(X,F) はすべての fFxX に対して次のセミノルムの族により導出される:

特に、弱位相は局所凸である。この観点より、弱位相は最も粗い極位相弱位相 (極位相)を参照)である。特に FX の点を分離する X 上の線型汎関数のベクトル空間であるなら、位相 σ(X,F) に関する X の連続双対は F と一致する(Rudin 1991, Theorem 3.10)。

弱収束[編集]

弱収束は次の条件で特徴付けられる:X 内のあるネット (xλ) が X の元 x に弱位相において収束するとは、X* 内のすべての φ に対して φ(xλ) が R あるいは C において φ(x) に収束することをいう。

特に xnX 内のであるなら、xnx弱収束するとは、すべての φ ∈ X* に対して

n → ∞ で成り立つことをいう。この場合、慣習的に

あるいは

と表記される。

その他の性質[編集]

X が弱位相を備えるなら、加法およびスカラー乗算は依然として連続な演算であり、X局所凸位相ベクトル空間となる。

X がノルム空間なら、双対空間 X* もノルム || φ || = sup|| x ||≤1|φ(x)| によってそれ自身ノルム空間である。このノルムは位相を導き、それは X* 上の強位相と呼ばれる。これは一様収束の位相である。一様強位相は一般に、他の線型写像の空間とは異なる;後述を参照。

弱-* 位相[編集]

空間 X

によって二重双対 X** に埋め込まれる。ここで

である。したがって T : XX**単射の線型写像であるが、全射ではない(この標準埋め込みが全射であるような空間は回帰的と呼ばれる)。X* 上の弱-* 位相は、T の像によって次のように導出される:T(X)X**。言い換えると、それは Tx(φ) = φ(x) で定義される X* から基礎体 R あるいは C への写像 Tx が依然として連続であるような最も粗い位相である。

弱-* 収束[編集]

X* 内のあるネット φλ が弱-* 位相において φ に収束するとは、点ごとに収束することをいう。すなわち、X 内のすべての x に対して

が成り立つことをいう。特に、φnX*が φ に収束するとは、X 内のすべての x に対して

が成立することをいう。この場合、n → ∞ に対して

と表記される。

弱-* 収束はしばしば単純収束の位相(topology of simple convergence)あるいは各点収束の位相(topology of pointwise convergence)と呼ばれる。実際、それは線型汎函数の各点収束の位相と一致する。

その他の性質[編集]

定義より、弱 * 位相は X* 上の弱位相よりも弱い。弱 * 位相に関する重要な事実として、次のバナッハ=アラオグルの定理がある:X がノルム空間であるなら、X* 内の閉単位球は弱 * コンパクトである(より一般に、X 内の 0 の近傍の X*は、弱 *-コンパクトである)。さらに、ノルム空間 X の中の閉単位球が弱位相においてコンパクトであるための必要十分条件は、X回帰的であることである。

より一般に、F を局所コンパクト賦値体(例えば局所体、特に実数、複素数や任意の p-進数の体系)とする。XF 上のノルム位相ベクトル空間とし、F の絶対値と矛盾しないものとする。このとき、X 上の F-値連続線型汎函数の位相双対空間である X* において、すべてのノルム閉球は弱 * 位相においてコンパクトである。

ノルム空間 X が可分なら、弱 * 位相は X* のノルム有界部分集合上で距離化可能である。Xバナッハ空間なら、X が有限次元でない限り、弱 * 位相はすべての X* 上で距離化可能ではない[1]

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ヒルベルト空間[編集]

例としてヒルベルト空間 L2(Rn)における強収束と弱収束の違いについて考える。列 ψkL2(Rn) がある元 ψ に強収束するとは、

k→∞ に対して成り立つことをいう。ここでの収束の概念は L2 上のノルムに対応する。

対照的に、弱収束では

がすべての函数 fL2 に対して成り立つことのみが求められる(より一般的に、列 {ψk が有界なら、テスト函数の空間のような L2稠密部分集合内のすべての f に対してこれが成り立てばよい)。テスト函数が与えられたとき、意義のある収束の概念は C 内で用いられる位相にのみ対応する。

例えば、ヒルベルト空間 L2(0,π) において、函数列

正規直交基底を構成する。特に、k→∞ としたときの ψk の(強)極限は存在しない。一方、リーマン=ルベーグの補題英語版より、弱収束は存在しゼロである。

超函数[編集]

(コンパクトな台を持つ R'n 上の滑らかな函数のような)テスト函数の空間の強双対を構成することで、超函数の空間を得ることができる。そのような空間の別の構成方法として、L2 のようなヒルベルト空間の内部のテスト函数の弱双対を取る方法がある。これは帆装ヒルベルト空間英語版を考えることになる。

作用素位相[編集]

XY を位相ベクトル空間とするとき、連続線型作用素の空間 L(X,Y) は異なる多くの位相をもたらす。そのような位相の名称は、作用素の収束を定義する上で目的とする空間 Y 上でどの種の位相を利用するかに依存する(Yosida 1980, IV.7 Topologies of linear maps)。一般に、L(X,Y) 上の作用素位相には膨大な種類があり、それらの名称は直感的なものではない。

例えば、L(X,Y) 上の強作用素位相は「各点収束」の位相である。例えば Y がノルム空間であるなら、この位相は xX によって決められる次のセミノルムによって定義される:

より一般に、セミノルムの族 QY 上の位相を定義するなら、強作用素位相を定義する L(X,Y) 上のセミノルム pq,x は次で与えられる:

ここで qQ および xX である。

より詳しくは、弱作用素位相および弱*作用素位相英語版を参照されたい。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ Proposition 2.6.12, p. 226 in Megginson, Robert E. (1998), An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, pp. xx+596, ISBN 0-387-98431-3 .

参考文献[編集]