弦 (数学)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Chord_in_mathematics.svg/220px-Chord_in_mathematics.svg.png)
初等幾何学における円の弦(げん、英: chord[注釈 1])は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線(例えば楕円)において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/CIRCLE_LINES-en.svg/220px-CIRCLE_LINES-en.svg.png)
円の弦
[編集]円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:
- 二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。
- 長さの等しい弦を、円の中心から見込む角(中心角)は等しい。
- 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。
- 弦 AB および CD を延長して得られる割線が点 P で交わるならば、それらの長さは AP·PB = CP·PD を満足する(方冪の定理)。
楕円の弦
[編集]楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある[1]。
弦をもとにした三角法
[編集]三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している(0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった)[2]。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/TrigonometricChord.svg/220px-TrigonometricChord.svg.png)
弦函数 crd は幾何学的には(図のように)中心角 θ の見込む弦の長さが r⋅crd(θ)(r は半径)となるように定義される。すなわち、弦函数の値 crd(θ) は、中心角 θ によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 θ は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 0 < θ ≤ π の範囲に入るものと考えている。この元函数 crd をより現代的な正弦函数 sin と関連付けることができる。それには、一点 (1, 0) ともう一つの点 (cos(θ), sin(θ)) を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると を得る[2]。最後の等号は半角公式による。
現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは(いまではもうすべて失われたけれども)12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:
恒等式 | 正弦版 | 弦版 |
---|---|---|
三平方の定理 | ||
半角公式 | ||
辺心距離 a | ||
中心角 θ | ||
ただし、半径 r(直径 D)の円の中心角 θ が見込む弦の長さを c とする。 |
弦函数 crd の逆函数 acrd もまた存在して、逆正弦函数とは の関係にある[3]。
脚注
[編集]注釈
[編集]出典
[編集]- ^ Chakerian, G. D. (1979). “7”. In Honsberger, R.. A Distorted View of Geometry. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147
- ^ a b Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, pp. 25-27, ISBN 978-0-691-15820-4
- ^ Simpson, David G. (2001年11月8日). “AUXTRIG”. Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. 2015年10月26日閲覧。
関連文献
[編集]- Hawking, Stephen William, ed (2002). On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy. Philadelphia, USA: Running Press. ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002-100441
- “On the Hidden Beauty of Trigonometric Functions”. Applied Physics Research (Prague, CZ: Canadian Center of Science and Education) 9 (2): 57-64. (2017-03-10). doi:10.5539/apr.v9n2p57. ISSN 1916-9639. ISSN 1916-9647.
関連項目
[編集]- 弓形: 端点が同じ弦と円弧で囲まれた部分(=扇形から半径と弦が作る三角形を取り除いて残る部分)
- Scale of chords: 弦に打った目盛りで角度を測る尺
- プトレマイオスの弦の数表
- ホルディッチの定理: 凸閉曲線内を回転する弦に関する
- 円グラフ (グラフ理論): 一つの円内の弦の集合に対する交叉グラフ
- 外正割: 外正割(剰正割; exsecant)と外余割(剰余割; excosecant)
- 正矢: 正矢(余正弦、残正弦; versine) と半正矢 (haversine) およびそれらの逆函数. 関連して、余矢 (coversine), 残正矢 (vercosine), 残余矢 (covercosine) / 半余矢 (hacoversine), 半残正矢 (havercosine), 半残余矢 (hacovercosine) など.
- ジンドラー曲線: 任意の弦が、同じ長さを持ち、かつ周長を二等分する単純閉曲線
外部リンク
[編集]- History of Trigonometry Outline
- Trigonometric functions, focusing on history
- Chord (of a circle) With interactive animation
- Weisstein, Eric W. "Chord". mathworld.wolfram.com (英語).
- chord - PlanetMath.
- Definition:Chord at ProofWiki
- BSE-3 (2001), “Chord”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4