局所環付き空間

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数学における局所環付き空間(きょくしょかんつきくうかん、locally ringed space)とは、位相構造正則構造といった数学的構造を反映する「関数のなす可換環」の(考えている空間の構造層と呼ばれる)を付与された位相空間のことである。関数fが点xで消えていないとき、xのごく近くでは逆数関数 1 / f(x) を考えられることが公理化される。

定義[編集]

位相空間 X とその上の環の層 O の対 (X, O) は環付き空間(かんつきくうかん)と呼ばれる。 X 上の環の層 O で、X の各点 x における O Ox局所環になっているようなものはX上の局所環の層とよばれ、Oが局所環の層であるような環付き空間 (X, O)は局所環付き空間と呼ばれる。ここで、局所環の層とは開集合のなす圏から「局所環の圏」への反変関手とは限らないことに注意する必要がある。

二つの局所環付き空間 (X, OX) と (Y, OY) に対し、連続写像f: XY と層の射φ: OYf*OX の対 (f, φ) で、Xの任意の点xについて誘導される準同形OY, f(x)OX, x が極大イデアルを極大イデアルの中にうつすようなものは(X, OX) から (Y, OY) への射とよばれる。

構成[編集]

X を位相空間とする。X の開集合 U に対して U 上の複素数値連続関数環 C(U) を与える対応は X 上の局所環の層(連続関数の層)になる。同様にXが可微分多様体や複素多様体のときはなめらかな関数の層や正則関数の層が局所環の層になる。これらの空間の間の連続写像や滑らかな写像、正則写像などは対応する局所環付き空間の間の射を自然に導く。

代数学において、可換環に対し自然に構成される局所環付き空間であるアフィンスキームや、それらの張り合わせとして定義される概型(スキーム)は可換環論と幾何学との間の諸概念の対応を与えている。

参考文献[編集]

  • R・ハーツホーン 『代数幾何学』1-3、高橋宣能、松下大介訳、シュプリンガーフェアラーク東京、2004年