主イデアル

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主イデアル: principal ideal)、あるいは単項イデアルとは、 R の単一の元 a により生成された Rイデアル I のことを言う。(要するに、単項生成されたイデアルを主イデアルと言う。)

定義[編集]

  • R左主イデアル (left principal ideal) は、Ra = {ra : rR} の形の部分集合
  • R右主イデアル (right principal ideal) は、aR = {ar : rR} の形の部分集合
  • 両側主イデアル (two-sided principal ideal) は、RaR = {r1as1 + ... + rnasn : r1, s1, ..., rn, snR} の形の部分集合

R可換環であれば、上の 3つの定義はみな同じになる。この場合は、a で生成されるイデアルを (a) と記すのが一般的である。

主イデアルでないイデアルの例[編集]

全てのイデアルが、主イデアルというわけではない。

例えば、2つの変数 x, y の、複素数を係数とする全ての多項式の環 C[x, y] を考える。xy で生成されたイデアル (x, y) は、定数項が 0 となるような C[x, y] の多項式全てから構成されるが、主イデアルではない。このことを見るために、p(x, y) の生成元であると仮定すると、{xy は両方とも p により割り切れることになるが、このことは p が 0 でない定数でない限り不可能である。しかし 0 は (x, y) の中の唯一の定数であり、従って矛盾する

関連する定義[編集]

全てのイデアルが主イデアルであるような環を、主イデアル環 (principal ideal ring) と言う。主イデアル整域 (PID) とは、全てのイデアルが主イデアルとなるような整域を言う。任意の主イデアル整域は一意分解整域 (UFD) であり、整数における一意分解の普通の証明(いわゆる、算術の基本定理)が任意の主イデアル整域で成り立つ。

性質[編集]

どのユークリッド整域も PID (主イデアル整域)であり、最大公約数の計算に使われるアルゴリズムを、任意のイデアルの生成子を見つけることに使うことができる。さらに一般的には、可換環のどの 2つの主イデアルも、イデアルの乗法の意味で最大公約数を持っている。主イデアル整域では、単元による積を除くと、環の元の最大公約数を定義できる。すなわち、gcd(a, b) をイデアル (a, b) の任意の生成子として定義する。

デデキント整域 R に対し、R の 主イデアルではないイデアル I が与えられたとき、R の拡大 S であって、I により生成される S のイデアルが主イデアルとなる(大まかにいえば、IS で主イデアルとなる)ようなものが存在するかと問うこともできる。この問題は、数論で代数的整数の環の研究の関連で発生し、高木貞治エミール・アルティンドイツ語版英語版 (Emil Artin)、ダフィット・ヒルベルト (David Hilbert) やその他多くの数学者による類体論の発展を導いた。

類体論の主イデアル定理英語版(principal ideal theorem of class field theory)は、任意の整数環 R (つまり、ある代数体整数環)に対し、それを含むような整数環 S であって、R全てのイデアルは S の主イデアルとなるような S が存在すると言う定理である。この定理において、SRヒルベルト類体英語版 (Hilbert class field) の整数の環とすることができる。すなわち、R の分数体の最大不分岐なアーベル拡大(つまり、ガロア拡大であってガロア群がアーベル群となっている拡大)であり、これは R によって一意的に決定される。

クルルの主イデアル定理は、R がネター環で、IR の真の主イデアルであれば、I高さ (環論)は高々 1 であるという定理である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Joseph A. Gallian (2004). Contemporary Abstract Algebra. Houghton Mifflin. pp. 262. ISBN 978-0-618-51471-7.