数学においてリース函数(リースかんすう、英: Riesz function)とは、リーマン予想との関係でリース・マルツェルによって定義された、次の冪級数で与えられる整函数のことを言う:
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22eef2e96c1342079eb73b5a216d60b31c5d6689)
とすれば、双曲余接のゼロを中心としたローラン級数展開の係数としてそれは定義される。もし
![{\displaystyle {\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea7b3b30c6acddf7df90cf377022fe4fc1975c1)
であるなら、F は次で定義される。
![{\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f475d38dd3c038263c7e3de073d7a6e61150661a)
ζ(2k) の値は k が増加するにつれて 1 に近付き、リース函数に対する級数を
に対する級数と比較することで、それは整函数を定義することが分かる。また F は
![{\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k+1}}x^{k}}{B_{2k}}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66af7e1535434f29ad03db06b7df703afb99e6a2)
で定義されることもある。
はドナルド・クヌースの記法における上昇階乗であり、Bn はベルヌーイ数である。この級数は代替的な項の一つであり、函数は x が負の方向に増大するにつれて負の無限大へと発散する。正の x についてはより興味深く、繊細な問題となる。
リース指標[編集]
1/2 より大きい任意の冪乗 e に対して、次が成立する。
![{\displaystyle \operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66edf69c249a3a3e09e6f60a56f665640a87d97)
ただしこの右辺はランダウの記号であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の e について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した[1]。ただしその同じ論文においては、やや悲観的な次の注釈も見られる «Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse»。
リース函数のメリン変換[編集]
リース函数は、メリン変換を介してリーマンゼータ函数と関連付けられる。今
![{\displaystyle {\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz(z)}}z^{s}{\frac {dz}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773f8ba55db91a11e3f6f6a47a52f1b786ed7809)
とすれば、
のときに
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b71e8278c21c89654a7440e63aace4b75c7a0c)
は収束し、一方
であれば成長条件により
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e22bd132b4658e1a99dd2d109417c759cf9ff3)
は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域
の上で定義されることが分かる。この領域上では、
が成り立つ。
するとメリン逆変換により、リース函数を式
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}(z)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e90a0a3b2ac76c81e1be139f49f1434acb8f54)
で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。
J. garcia(脚注を参照)は、ボレル和(英語版)を使うことで
に関する次の積分表現を得た。
![{\displaystyle \exp(-x)-1=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\rho ({\sqrt {x/t}})dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c0573d9ad1370b0b693edde1912508b2b1bdb1)
ここで
は 'x' の小数部分である。
リース函数の計算[編集]
F のマクローリン級数の係数の絶対値は、40番目の項 -1.753×1017 において最大値を取るまで増加である。一方、109番目の項において絶対値は 1 よりも小さくなる。はじめの 1000 個の項を取ることで、
に対する
の非常に精確な値を得ることが出来る。しかしこの計算を行う際には、次数 1000 の多項式を、大きな分子あるいは分母の係数に対する有理数演算か、100 位を超える浮動小数点計算によって求める必要が生じうる。いずれの方法も、数値計算的に簡単なものではない。
その他の計算手法として、収束加速法(acceleration of convergence)が挙げられる。今
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba1b3c46def35878d283b1f1c827934cd6575c7)
である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018afacaa143a13d4c2b571d55eb95b85f274b87)
に近付く。実際、リースは次の式を示していた:
。
収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c8ad3ed29358b38a3095fc23d1b8e681bc47e0)
が得られる。
この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る:
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7ff74564a6b168fb9432bf5a39c6a8360a3e11)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00ef170c5341fef939d0e6687e7df81bb3c3cdd)
ここで μ はメビウス函数であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1af6a1a9ba3a6de8f072481a37665403c5fc32e)
と表すことが出来る。この項は終局的には、n の 1/4 乗によって減少となる。
上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる:
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92145a67a2d679d7d44326f8ee87751966d2826)
この式は次のように整理できる:
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9f71556d2d0ea612a097e0a61431ee4d2982b4)
マレク・ウォルフは [2] において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している:
![{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=const\times x^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2af3ae816d245b1b3811b446a9cff903b9f667f)
ここで
はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また
および
である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された [3] リース函数のゼロ点と一致する。
- ^ M. Riesz, «Sur l'hypothèse de Riemann», Acta Mathematica, 40 (1916), pp.185-90.». For English translation look here
- ^ M. Wolf, "Evidence in favor of the Baez-Duarte criterion for the Riemann Hypothesis", Computational Methods in Science and Technology, v.14 (2008) pp.47-54
- ^ H.Wilf, " On the zeros of Riesz' function in the analytic theory of numbers", Illinois J. Math., 8 (1964), pp. 639-641
参考文献[編集]
- Titchmarsh, E. C., The Theory of the Riemann Zeta Function, second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986, [Section 14.32]
- Jose Javier garcia Moreta Borel Resummation & the Solution of Integral Equations Prespace time Journal Vol 4, No 4 (2013)Math Physics, Modified GR Solutions & Explorations of Natural Constants http://www.prespacetime.com/index.php/pst/issue/view/42