リースポテンシャル

数学におけるリースポテンシャル（英: Riesz potential）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のリーマン＝リウヴィル積分（英語版）は複数変数へと一般化される。

0 < α < n であるとき、Rⁿ 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル I_αf は、次式で定義される。

(I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{{\mathbb {R} }^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y.

(1)

ただしこの定数は次で与えられる。

c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.

この特異積分（英語版）は、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ L^p(Rⁿ)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と I_αf の減衰率は不等式（ハーディ＝リトルウッド=ソボレフ不等式（英語版））

\|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|f\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}}

によって関連付けられる。より一般に作用素 I_α は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。

リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る：

I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }.\,

ここで K_α は局所可積分函数

K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}

である。したがってリースポテンシャルは、f がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、コンパクトな台を持つある正のボレル測度 μ のリースポテンシャルは、I_αμ がその μ の台を除く（連続な）劣調和函数であり、Rⁿ 全体で下半連続であることから、ポテンシャル論における主要な興味を集めるものとなっている。

フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはフーリエ乗数（英語版）であることが分かる。実際、