半連続

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解析学における半連続性: semi-continuity)とは、拡張実数関数(値として ±∞ を取り得る)に対して定義される「連続性」よりも弱い性質である。概略的に言うと、拡張実数値関数 f が点 x0半連続であるとは、x0 の十分近くで函数の値が f(x0) に近いかもしくは f(x0) よりも小さい(大きい)ことを言う。

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上半連続な関数。青で塗り潰した点がf(x0)。

x < 0 において f(x) = –1、x ≥ 0 において f(x) = 1 と区分的に定義された関数fを考える。この関数はx0 = 0において上半連続であるが、下半連続ではない。

下半連続な関数。青で塗り潰した点がf(x0)。

閉集合指示関数が上半連続である一方、開集合の指示関数は下半連続である。与えられた実数xに対し、それ以下の最大の整数を返す床関数f(x)=\lfloor x \rfloorは、全ての点において上半連続である。同様に、天井関数f(x)=\lceil x \rceilは下半連続である。

関数は、左連続と右連続のいずれでもなくても、上または下半連続でありうる。例えば、関数

f(x) = \begin{cases}
               1,   & x < 1\\
               2,   & x = 1\\
               1/2, & x > 1
               \end{cases}

x = 1では左連続でも右連続でもないが、上半連続である。左からの極限は1、右からの極限は1/2であり、いずれも関数値の2とは異っている。同様に、関数

 f(x) = \begin{cases}
                \sin(1/x), & x \neq 0\\
                1,         & x = 0
                \end{cases}

x = 0において、左右からの極限値は存在すらしていないが、上半連続である。

厳密な定義[編集]

X位相空間x0X 上の点とし、f: XR ∪ {−∞, +∞} は拡張実数値関数とする。任意の ε >0 に対してx0近傍 U が存在し、U に属するどの x に対しても f(x) ≤ f(x0) + ε となるとき、あるいは同じことだが、

\limsup_{x\to x_0} f(x)\le f(x_0)

となるとき、fx0上半連続であると言う。ここで lim sup は(x0 における関数 f の)上極限である。

函数 f上半連続函数であるとは、それが定義域の全ての点において上半連続であることをいう。函数 f が上半連続函数となるための必要十分条件は、集合 {xX : f(x) < α} がいずれの α ∈ R についても開集合となることである。

同様に、函数 f が点 x0 において下半連続であるとは、任意の ε > 0 に対し、x0 の近傍 UU の各点 x において f(x) ≥ f(x0) − ε となるようなものが存在すること、あるいは同じことだが、

\liminf_{x\to x_0} f(x)\ge f(x_0)

が成立することをいう。ここで lim inf は(点 x0 における函数 f の)下極限である。

函数 f下半連続函数であるとは、それがその定義域の全ての点で下半連続となるときにいう。函数 f が下半連続函数となるのは、任意の α ∈ R に対して {xX : f(x) > α} が開集合となるときであり、かつそのときに限る。

性質[編集]

関数は x0 において上半連続かつ下半連続であるとき、その点において連続であり、かつ連続となるのはそのときに限る。従って、半連続性を連続性の証明に利用できる。

2つの実数値関数 fg が共に x0 で上半連続ならば、f + g もまた上半連続である。もしどちらの関数も非負であるなら、積関数 fg もまた x0 において上半連続である。正の上半連続関数に負の値を掛けると、それは下半連続関数となる。

Cコンパクト空間(例えば有界区間 [a, b])で、f: C → [−∞, ∞) が上半連続ならば、fC 上で最大値をとる。(−∞, ∞]-値下半連続関数と最小値についても同様のことが言える(証明は最大値最小値定理を参照)。

空でない集合 I で添字付けられた函数の族 fi: X → [−∞, ∞] が全ての添字 i について下半連続関数であり、ffi たちの点ごとの上限、すなわち

f(x)=\sup_{i\in I}f_i(x),\qquad x\in X

で定義されるものとするとき、fは下半連続である。全ての fi が連続であったとしても、f は必ずしも連続ではない。実際に、一様空間(例えば距離空間)における全ての下半連続関数は連続函数列の上限として現れる。

あらゆる開集合の指示関数は下半連続である。閉集合の指示関数は上半連続である。

関数 f: RnR は、そのエピグラフグラフ上、またはグラフより上の点の集合)が閉集合である時にのみ下半連続となる。

位相空間 X について、関数 f: XR が下半連続函数となることと、fR 上のスコット位相英語版 に関して連続であることとは同値である。

参考文献[編集]

  • Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 1–4. Springer. ISBN 0201006367. ニコラ・ブルバキ『数学原論』)
  • Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 5–10. Springer. ISBN 3540645632. 
  • Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. (2003). Counterexamples in analysis. Dover Publications. ISBN 0486428753. 
  • Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997). Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. ISBN 9810225342.