ノート:楕円

各言語の特色

各言語の特色

• 英語版は、片方の焦点を中心にした極座標表示を説明している。
• ドイツ語版は、中心から焦点までの距離を説明している。
• フランス語版は、2つの焦点の反射の関係を説明している。

英語版に書かれている量latus rectumは日本語では直弦または通径と呼ばれる。

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まだ焦点間の距離について書いていない。

焦点間の距離2cと楕円上までの「距離の和」2aの2つのパラメタで楕円の形(と大きさ)が決まる。 定義で述べられているのはこの2つのパラメタのみ。 ドイツ版で述べられているように、$a^{2}=b^{2}+c^{2}$である(aとcからbが求まる)。 (ドイツ版では焦点間の距離が2eだが、離心率のeと混乱するのでcがよいかと思う。)

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楕円という図形の対称性について述べるとよいと思う。

• 長軸について鏡像対称
• 短軸について鏡像対称
• 中心に関して点対称
• 中心は2回対称の軸

重複してるのがあると思う。点群詳しい人、教えて〜。

以上全て—以上の署名の無いコメントは、HarpyHumming（会話・履歴）氏が[2004-02-27頃]に投稿したものです。

質問

教えてください。 定義の中の「長軸の長さを長径という。」は、後半の「楕円の方程式」の 2a, 2b の説明と矛盾してませんか？ また、「その他の楕円の用語」とも矛盾しているのかどうかもよくわかりません。 わからないばかりですみません。—以上の署名の無いコメントは、211.131.106.233（会話/whois）氏が[2006-12-18T16:14:08 (UTC)]に投稿したものです。

何を言いたいのかよく分かりませんが、 a > b > 0 のとき

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$

の x 軸との交点は、(a,0) と (−a,0) ですから、長軸の長さは a − (−a) = 2 a です。--１３２人目 2006年12月18日 (月) 17:12 (UTC)

すみません。勘違いしていました。また，署名を挿入していただきありがとうございました。以下、上記の式の場合を考えますが,

(長軸の長さ)=(長径)=2a=2*(半長径), (短軸の長さ)=(短径)=2b=2*(半短径)

ということですね。すると，

「・・・この線分を短軸という。『長軸との交点』から『楕円との交点』までの長さを短径という。」

の方なんですが、「『原点』と『点(b,0)』の距離が短径」と読めてしまいます。2倍しなくてよいのでしょうか。相変わらず初心者ですみません。--211.131.106.233 2006年12月19日 (火) 03:39 (UTC)

そこは、読めてしまうというより、明らかに、この記事の間違いですね。書いた人自身が、全く何も理解していなくて、整理がついていないのでしょう。--１３２人目 2006年12月19日 (火) 12:37 (UTC)

楕円周について

楕円の周りの長さは、a=bでも成り立ちますので、a>bではなくa≧bにしたらどうですか？ --くぁは 2008年11月7日 (金) 21:16 (UTC)

修正に強く反対は致しませんが、本文は一貫して2焦点が一致していない場合について述べているように読めます。--白駒 2008年11月8日 (土) 17:33 (UTC)

計算例について

利用者:Merliborn様。計算例は、計算式だけ示されても今一ピンと来ないという人が、内容をしっかり理解する上で有用（もしくは必要）と考えて追加したのですが、余計だったでしょうか。分かってしまえば当たり前の初歩的内容ですが、私自身はすっきり頭にはいるまで、だいぶ時間が掛かりました。

利用者:官翁様。計算例3は、地理緯度と地心緯度の差は、弧長の計算例を示す上で枝葉末節と考えて、地理緯度を使ってしまいました。地理緯度を使っても地球を球とみなした事にはならないと思いますが、間違っていますか。でも、地心緯度を使った場合と40kmも差が有る事を確認せずに公開してしまった事は迂闊であり、不覚でした。削除は妥当だったと思います。コメントの7700.15という数字はGRS80のデータで、地心緯度にきちんと変換した時の結果だと思いますが、合っておりますか。正確にa=6378.1,b=6356.8とする最近の規格を見た覚えがあるのですが、こちらを使うのは、不適当でしょうか。計算例を示す事が、不適当ではないとなりましたら、復活させたいと思います。--GonJii3（会話） 2022年3月31日 (木) 08:36 (UTC)

返信 ウィキペディアは百科事典であって教科書ではない (WP:NOTTEXTBOOK) という考え方に基づき、命題の証明部分や途中計算などをウィキペディアで懇切丁寧に書く必要はあまりないと私は考えます。状況に応じて多少の例示を行ったりすることはあっても、基本的には文献を提示して詳細はそれをあたってもらった方が百科事典 (あるいはウィキペディア) の態度として適切であると私は考えるためです。

内容の理解に有用な詳細さの度合いは程度問題なので一概にどうとは私も申しませんが、どちらかというと私は簡明に書けることは簡明に済ませるべきと考えており、そのため計算式に具体的な数値を代入しただけの単純な例ならば各自の手元でやってもらうので十分なのではないかと思いました。--Merliborn (会話) 2022年3月31日 (木) 10:02 (UTC)

Merliborn様は、楕円弧長と楕円積分の関係に言及しているWebページを幾つご覧になっていますか。周長は完全楕円積分で求まるので、始点や方向が関係なく、すっきりと説明できます。しかし、弧長についてはひどいもので、被積分関数を捻じ曲げたり、eが虚数になる条件で説明したりしています。それは、媒介変数表示に2形式あり、その二つを使い分けなければならない事が全くの盲点になっている為だろうと、私は思っています。私は、弧長測定の実験結果と計算値との誤差があまりに大きいので、試行錯誤しているうちに気が付きました。その意味で、これは独自研究の披露にあたり、憲章に反しているかも知れません。でも、論理を進める過程に独自研究は含んでおらず、そもそも「研究」という程の深い内容でないので、赦されるだろうと都合よく考えて、投稿しました。すんなりと盲点に気付き合点して貰うには、具体例も必要だろうと思った次第です。（既存の成書で解説されているかどうかは、浅学にして、存じ上げません。）--GonJii3（会話） 2022年3月31日 (木) 11:21 (UTC)

返信 そうであるのであれば、WP:NORをぜひご確認ください。ウィキペディアにおいて「独自研究」とは「信頼できる媒体において未だ発表されたことがないものを指すウィキペディア用語です」。ウィキペディアはあくまでも既に発表された情報を集積する (これは三大方針の1つであるWP:Vの方針に基づきます) 立場にあるため、書籍・論文・その他信頼できる情報源に掲載された内容を原則的に載せることになっており、その意味で残念ながらGonji3さんの目的に100%沿った形での記載は困難なように現状見受けられます。

ただし、この情報を記載する意義はご主張の通りあると思います (Webの情報もいくらか確認して、何をご懸念されているかは把握したと思います) ので、出典をわざわざ記載するまでもないほとんど自明な記述に留めるか、楕円弧長と楕円積分に関する記述を書籍から見つけてくるというのがよいかと思います。どうしても子細に書きたい、ご自身の主張を著したい場合は例えばMathlogなどに寄稿されることをお勧めいたします。--Merliborn (会話) 2022年3月31日 (木) 15:24 (UTC)

利用者:Merliborn様。私には、「書籍・論文・その他信頼できる情報源に掲載された内容」と、そこから自明に引き出される、あるいは、それにより容易に検証可能になる情報との間の線引きが良く分かりません。媒介変数表示の第2の形式はNetでも文献でも見た事が有りませんが、正しい事は高校レベルの数学で検証できます。また、$\theta$からuやvへの変換式もついぞ見た事がありません。（tをx軸やy軸との角度としているサイトは多数ありますが。）でも、t(or u or v)が$\theta$と異なっている事を意識して、求める気にさえなれば、見ての通り、極めて容易です。それでも、「信頼できる情報源」中に同様の記述を見つけなければ、載せてはいけないものなのでしょうか。私は、本文の記述全体は「出典をわざわざ記載するまでもないほとんど自明な記述」に留まっていると判断しています。でも、これは計算例の必要性を自ら否定してしまっていますね。計算例の削除に同意し、本文はそのままという事で結論としたいと思いますが、よろしいでしょうか。--GonJii3（会話） 2022年4月1日 (金) 05:19 (UTC)

利用者:Merliborn様。Mathlogのご紹介、有難うございました。なかなか面白そうな所ですね。近いうちに詳細をまとめて寄稿したいと思います。全5回位のシリーズにして、最初は第I象限限定。最後は楕円積分の変数の範囲を$[-\pi /2,\pi /2]$に拡張しておき、$\theta$の範囲を$[-\pi ,\pi ]$に拡げる。なんだかワクワクして来ました。ところで、Mathlogの記事というのは、「信頼できる情報源」とはなりえないのでしょうね。特に査読もないようですし、中には誤った内容もあるのではないかと懸念されるのですが。--GonJii3（会話） 2022年4月2日 (土) 04:15 (UTC)

返信 ウィキペディアに書かれる内容については、WP:Vをはじめとした三大方針をよくご確認ください。原則的には、信頼できる情報源で確認できることが求められます。これが守られないと特定の観点を推進するような、発表済みの情報の合成 (WP:SYN) のようなことが起こり、検証可能性に関する内容の信頼が薄まります。数学は追証明ということができてしまうのでややこしいのですが、ウィキペディアにおける検証可能性は他者が記述を追証明などで確認できることとは異なる概念です。

Mathlogは査読制度などはないため、基本的には信頼できる情報源ではありません。著者が専門家であると確認できる場合は、unpublished work相当として扱うことができるかもしれません。私はあくまでも自身の主張をそのまま寄稿できる場所として (そしてウィキペディアで目的外利用などを行わないで済むように) 紹介しただけです。

暫定的には本文は現状のままでよいと思います。計算例を復活させる積極的な理由はいまだに思い浮かびません。以下内容に関する細かな話：

• 媒介変数表示が2種類というのはあまり本質的でない指摘のように思います。なぜなら、y=cosθ, x=sinθと媒介変数をおくことは、θをy軸から時計回りに角度を取ることであると同時に、座標系のxとyを入れ替えてから通常の極座標を取ることとも言えるからです。そのような指摘は専門書においてしばしば「一般性を失わない」だとか「簡単のため」などといって省略される場所であるため、ここを丁寧に書いてくれている出典さえあればそれを用いて非常によい内容を構成することができると思います。
• 楕円積分のパラメータについても、webで検索して出てくる資料だとかなり適当 (うまく議論できる範囲のことしか考えないことが前提のような書き方になっている) なものも多々ありましたが、まさか紙の教科書でも全部が全部そのようなことにはなっていないはずなので、それを図書館などで確認してよい教科書を見つけてくるだけでも相当よい記述にできると思います。少なくともDigital Library of Mathematical Functions (NIST編)ではパラメータは複素値まで許されていた (§19.2(ii)) ので、たぶん適切な議論を経ると場合分けは1つだけを考えれば十分になるのではないかという予感がします。

時間があれば私の方でも図書館をあたってみたいと思いますが、すぐに実行可能なわけでもないため、どなたか確認できる方がいればお願いしたいところです。--Merliborn (会話) 2022年4月2日 (土) 10:02 (UTC)

利用者:Merliborn様。Mathlogが信頼できる情報源でない事、了解しました。査読がないのですから、当然ですね。

Mathlogへの寄稿は、記事の作成に苦戦しそうなので、だいぶ先になりそうです。こちらでは、既存の記事のソースを見る事ができて、コピペもできるので、比較的楽に記事を作成できましたが、Mathlogでは、そうは行かないようです。Merliborn様には、どうでも良い事でしょうが、一応、ご報告まで。

楕円積分のパラメータが複素数まで拡張されているとは、全くの想像外で、ビックリです。つくずく、我が身の浅学さを、思い知らされます。時間を取って頂き、また丁寧に御指導頂き、有難うございました。--GonJii3（会話） 2022年4月2日 (土) 12:47 (UTC)

僭越ながら当方で Byrd & Friedman の Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists (2nd ed.) [1] を当たってみたところ、38ページの160.02に en:Meridian_arc#Relation_to_elliptic_integrals 中にある式変形とほぼ同等のことが記されていましたので、御参考までにお伝えします。Gonji3様の仰る「被積分関数を捻じ曲げたり、eが虚数になる条件で説明したりして」いるというのは、正にこの英語版記事に記されているようなことなのかもしれませんが、この書籍の冒頭部分（9ページ: [2] で幸いにもプレビュー可能）でもパラメータ (modulus) について実数値・虚数値いずれもとり得る旨、また引数についても実数値・複素数値いずれもとり得る旨が明示されています。--官翁（会話） 2022年4月7日 (木) 03:15 (UTC)

地理緯度と地心緯度の差が“ない”という判断そのものが、地球形状を真球とみなしていることに他ならないものと思います。東京とシドニー、北緯と南緯の違いはあれど緯度にして35度近辺ということであれば、地理緯度と地心緯度の差は10分強程度あります。これは分度器の目盛を凝視している限りは大したことのない差だと思われるかもしれませんが、地球の子午線弧長では20 km程度に相当し、この事実からも40 km程度の見積もり誤りを犯してしまうことは当然の帰結と言えるでしょう。地球半径についてどのような最近の規格を参照されたのかは存じませんが、地球の楕円パラメータについては地球楕円体#GRS80楕円体を参照ください。これは測量法施行令第3条[3]にも規定されています。

また、東京とシドニーでは緯度差のほかにも10度強程度の決して無視することのできない経度差もあり、どう頑張っても同じ子午線上に乗っているとは言い難く、子午線距離と云うにはあまりにも浮世離れした問題設定になっています。したがって、このようなあたかも現実に沿っているようで全くあり得ない設定の例を示すことは記事の読者に要らぬ誤解と混乱を与えるだけとなり、復活には【相当強く】反対します。経度差をきちんと考慮して球面三角法における球面距離の計算事例にするということであれば、地球形状を真球とみなしたとしてもそれなりに教育効果はあると思いますが、もはや楕円とは無縁の話となってしまいます。

なお、楕円弧長と楕円積分の関係に言及しているWebページとしては、地理緯度に特化している傾向ではありますが子午線弧#子午線弧長の計算を挙げることができます。--官翁（会話） 2022年3月31日 (木) 21:50 (UTC)

地理緯度と地心緯度の差が“ない”とは判断しておらず、楕円積分の応用例を示す材料に使うには、十分に近いだろうと判断しました。地心緯度に言及しておくことで、厳密には地心緯度を使うべきなのだなと、読者が気付いてくれる事を期待しましたが、誤差が大きすぎて、不適切な例になってしまいました。

7700.15の算出法をお訊きしたのはどんな条件でどんなアルゴリズムを使ったのかを知りたかった為です。「正確な値は約7,700.15 km」と述べられていますが、地理緯度を入力すると正確な値を返してくれる便利な（しかしアルゴリズム不明な）ツールが有ってそれを使ったのか、私が例題で示したのと同様の手法で、GRS80のデータを使い地心緯度に変換して算出した結果を「正確な値」と言っておられるのかを知りたかったのです。私自身、GRS80のデータを使って7700.15という値を得ていますので、GRS80に準じている事は間違いないだろうと思いましたが、念の為お尋ねしました。私は、与えられた条件から、例で示した結果を読者が再現できれば、例題の目的は達成されると考えていますので、どの規格を採用するかはあまり問題にならないと思っています。でも、データの桁数を減らす事より、実用の規格に準じる事の方が優先度が高そうですから、復活する事がありましたら、GRS80を使う事にします。

「子午線距離」として「距離」としなかったのは、経度差は考慮しない事を明示する為です。東京とシドニーの経度が同じと誤解する人が現れる惧れは小さいと思いますが、復活の暁には、「距離」を求めるには経度差も考慮する必要があると、一言言及する事にします。--GonJii3（会話） 2022年4月1日 (金) 02:37 (UTC)

地理緯度と地心緯度との有意な差が生ずるのは地球断面が楕円形をしているからなのであって、それを差が“ない”とは判断していないと仰ったところで“十分に近いだろうと判断”するということは、地球が球に十分に近いだろうと判断しているに等しく、楕円積分など使う必要もない（地球半径と緯度差の積で十分）と自ら主張しているのも同然ということかと思います。

当方が確認に使用したツールは、[4]により緯度についてそれぞれの値を入力した上で、経度を同一にセットして計算したものです。アルゴリズムは回転楕円体上の任意の測地線長を計算するので[5]にあるとおりかなりややこしいですが、たまたま経度が全く同じになったケースとして活用は可能です。また、繰り返しになりますが子午線弧#子午線弧長の計算を参照すれば、地心緯度に変換することなく地理緯度から直接に子午線弧長を求めることもできると思います。

利用者:GonJii3様が計算例3でおやりになろうとしていたのは、実際にいつ使う場面があるかわからない“This is an apple”の英文を読み書きするような、計算例のための計算例を無理やり創作されているように見受けられ、それであれば計算例1や2で十分ではないかと思うのですが、一方で利用者:Merliborn様の仰ることも至極ごもっともであり、結論としてはやはり復活には反対です。--官翁（会話） 2022年4月1日 (金) 04:00 (UTC)

利用者:官翁様。計算例3は、「東京-シドニー間の距離を求めよ」という課題を解こうとしているのではありません。まして、子午線距離で距離を代用しようとなど、していません。計算例3を載せた一番の目的は、A)-ii)ケースの計算を実践して貰う事にあります。例1や例2の無味乾燥な数字を見て、ただ字面だけ眺めていた方も、北緯とか地球半径などの具体的な数字を見れば、手を動かしてみようという気になるかも知れません。そして、手を動かせば、誤った思い込みや、思いがけない盲点に、自ずと気付く人もいるかも知れません。さらに、A)-ii)とB)-ii)の大きな形の違いに初めて目が行き、始点/終点/方向の違いの意味/影響に気付くかも知れないのです。その為の材料として使うには地理緯度でも充分だろうと判断したのですが、お分かり頂けないでしょうか。地球が回転楕円体で良く近似できる事を知っている人でも、地心緯度という言葉やその意味を知っている人は少ないと思います。そのような人達には、地心緯度というものが有り、本来はそちらを使うべきなのだと示唆するだけに留めるのが妥当だと思います。（もし、誤差があんなにも大きくなければ。）

楕円積分で楕円弧長を求める利点は何と言っても、その簡明さにあります。回転楕円体でない一般の楕円体にも適用できますし、自作のツール作成の際、楕円積分で求める形で実装しておけば、将来速度の改善等が必要になった時、優秀なライブラリの関数に置き換えるだけで済む事も、期待できます。このWikiの記事を読んだ方が、将来、JAXAが泣いて喜ぶようなツールを提供したら愉快ですね。

ところで、ツールのご紹介、誠に有難うございます。素晴らしいサイトがあるのですね。おまけにアルゴリズムまでご紹介頂いて、感謝、感謝です。測地線を求めるツールは、前から作りたいと思っていたのですが、数式が難解でなかなか手を出せないでいました。これだけきちんと定式化してあれば、自作のツールに組み込む事もそれ程難しくないと思われます。ご紹介頂いたサイトは、私の記事の中などで公開してしまっても構わないでしょうか。どなたかに迷惑がかかる惧れがあれば、利用した結果の数字だけ公開するようにしますが。--GonJii3（会話） 2022年4月2日 (土) 05:51 (UTC)

訂正します。地心緯度の知識のない人が相手だとしても、地理緯度を使って見せて良い事にはならないですね。むしろ、地球楕円体に楕円積分を適用するなら、地心緯度は必須の知識であり、決して地理緯度をそのまま使わないようにと釘を刺す位のスタンスが妥当だったと、思い直しました。これなら、官翁様の主張にだいぶ近づけたでしょうか。計算例は復活させない事で結論が出ている事でもありますし、この話題はこの辺までという事で。--GonJii3（会話） 2022年4月3日 (日) 03:55 (UTC)

この話題については一応議論は収束したと認識していますが、どちらかというと、現行の本文のほうは楕円の記事中ではなく楕円積分#楕円の弧長のコーナーで紹介されるべきものかと思いました。また、これまで緯度#地心緯度_(geocentric_latitude)についての言及をなさっていましたが、本文で使用している媒介変数としての緯度の種別はむしろ緯度#更成緯度_(reduced_latitude)に近いのではないかとも思っています。更成緯度ならば、既に子午線弧#更成緯度で表した表式という記事も存在はしています。

当方が紹介したサイトは、公開の是非について当方が判断できるものではなく、国土地理院のサイトですので、[6]に基づき「国土地理院ウェブサイト」へのリンクである旨明示すれば自由にリンクしてもよいようです（すみません、このように書いている当方自身が「国土地理院ウェブサイト」へのリンクである旨を後付明示しているのですが・・・）。--官翁（会話） 2022年4月4日 (月) 23:17 (UTC)

ご紹介頂いたサイトを公開しても（条件さえ守れば）問題ない事が分かり、安心しました。有難うございました。緯度の種別の件ですが、問題にしているのは、媒介変数(t, u, v)ではなく、楕円上の点を指定する為に導入した、$\theta$の方です。これは、議論の余地なく地心緯度に該当すると思われます。

計算例の話でなくなっていますし、長くなりそうなら新しく話題を起こしましょうか。--GonJii3（会話） 2022年4月7日 (木) 09:56 (UTC)