テニスラケットの定理

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テニスラケットの慣性主軸

古典力学におけるテニスラケットの定理(テニスラケットのていり、: tennis racket theorem)または中間軸の定理とは、3つの異なった主慣性モーメントを持つ剛体の運動に関する結果の一つである。この定理に基づく現象を1985年に宇宙空間で再発見した[1]ロシア宇宙飛行士ウラジーミル・ジャニベコフにちなんでジャニベコフ効果と呼ばれることもある。ただし、この効果自体は少なくとも150年以上前には知られており[2]、現代の古典力学の教科書にも詳述されている[3][4]ので、ジャニベコフも既に知っていたと思われる。この効果を説明する論文が1991年に出ている[5]

定理の内容は次の通りである。主慣性モーメントが大きい方から慣性主軸を並べると、『剛体の第1,第3の慣性主軸のまわりの回転は安定しているが、第2の慣性主軸(中間軸)のまわりの回転は不安定である。』

このことは次のような実験で確かめられる。面(ラケットフェイス)を水平にしてテニスラケットのグリップを握り、グリップと垂直・面と平行な軸のまわりに1回転するようにラケットを放り上げ、キャッチする。ほとんどの場合、この回転の間に面もまた半回転し、逆の面が上になる。対照的に、(他の軸のまわりに半回転させることなしに)グリップと平行な軸(第3の軸)のまわりに1回転させることは容易い。(他の軸のまわりに半回転させることなしに)面に垂直な軸(第1の軸)のまわりに1回転させることもまた容易い。

本、リモコン、スマートフォンなど、3つの異なった主慣性モーメントを持つ物体であれば何を使ってもこの実験はできる。この効果は、回転の軸が第2慣性主軸から大きく乖離していないときにはいつでも起き、空気抵抗重力とは関係がない[6]

理論[編集]

中間軸の不安定性を視覚化したもの。角運動量運動エネルギーの大きさがいずれも保存されているとき、角速度ベクトルは2つの楕円体の交線上を指し続ける。
マイクロg環境英語版におけるジャニベコフ効果(NASA)。

テニスラケットの定理はオイラーの運動方程式を用いて定量的に分析できる。トルクがゼロであれば次の方程式が成り立つ:

ここで は物体の主慣性モーメントを表し、 であるとする。物体の3つの慣性主軸のまわりの角運動量を それらの時間微分を で表す。

第1慣性主軸のまわりの回転の安定性[編集]

第1慣性主軸(主慣性モーメント )のまわりの回転を考える。つり合いでの性質(the nature of equilibrium)を決定するため、他の2軸のまわりの角速度の初期値は小さいものと仮定する。このとき式 (1) から、 は非常に小さくなる。よって、 の時間変化は無視してよい。

ここで式 (2) を微分し、式 (3) を代入すると

が(その2階時間微分と)逆向きであるため、この軸のまわりの回転は安定する。

同様に考えて、 に対応した軸まわりの回転も安定的である。

第2慣性主軸のまわりの回転の不安定性[編集]

次は同じことを主慣性モーメント に対して考える。今度は が非常に小さい。よって の時間変化は無視できる。

ここで式 (1) を微分して式 (3) を代入すると

今度は が(その2階時間微分と)逆向きでない(よって一方向に増幅していく)ことに注意すると、第2軸のまわりの回転は不安定である。このようにして、他の軸のまわりの揺らぎがたとえわずかであったとしても物体をひっくり返す。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), 23 July 2009 (ロシア語). The software can be downloaded from here
  2. ^ Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps, Bachelier, Paris
  3. ^ Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. 0-201-02918-9
  4. ^ Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. 0-08-021022-8 (hardcover) and 0-08-029141-4 (softcover).
  5. ^ Ashbaugh, Mark S.; Chicone, Carmen C.; Cushman, Richard H. (January 1991). “The Twisting Tennis Racket”. Journal of Dynamics and Differential Equations 3 (1): 67–85. Bibcode1991JDDE....3...67A. doi:10.1007/BF01049489. 
  6. ^ Levi, Mark (2014). Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction. American Mathematical Society. pp. 151–152. ISBN 9781470414443. https://books.google.com/books?id=uVSYswEACAAJ&pg=PA151. 

外部リンク[編集]