オイラーの運動方程式

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力学において、オイラーの運動方程式(オイラーのうんどうほうていしき)とは剛体回転運動を表す式である。

一般に、トルク \boldsymbol{N}角運動量 \boldsymbol{L}の関係は、(剛体の回転中心が慣性系に固定されているか、または剛体の重心と一致しているならば、)

 \boldsymbol{N} = \frac{d\boldsymbol{L}}{dt}

剛体に固定された慣性主軸座標系\boldsymbol{e}_1,\,\boldsymbol{e}_2,\,\boldsymbol{e}_3 から見たときの角運動量\boldsymbol{L}'と、角速度ベクトル\boldsymbol\omegaを使うとこの式は以下のように表される。

 \boldsymbol{N} = \frac{d{\boldsymbol{L}'}}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{L}

慣性主軸座標系では主慣性モーメントI_iによってL_i=I_i \omega_i\ (i=1,2,3)と表せることを使い、これを成分に分解して整理すると、以下の式になる。


\begin{matrix}
N_1 &=& I_1\frac{d\omega_1}{dt}-(I_2-I_3)\omega_2\omega_3 \\
N_2 &=& I_2\frac{d\omega_2}{dt}-(I_3-I_1)\omega_3\omega_1 \\
N_3 &=& I_3\frac{d\omega_3}{dt}-(I_1-I_2)\omega_1\omega_2 \\
\end{matrix}

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