楕円積分

以下の積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分（だえんせきぶん）という。

$F(x,k)=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}dt}$
$E(x,k)=\int _{0}^{x}{{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}dt}$
$\Pi (a;x,k)=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{(1-at^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}dt}$

$|k|\leq {1}$ を母数（modulus）、 $a$ を特性（characteristic）という。母数 $k$ の代わりにパラメーター $m=k^{2}$ 、或いはモジュラー角 $\alpha =\sin ^{-1}k$ を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性 $a$ を助変数（通常はparameterの訳語）と称することもあるので更に注意が必要である。

楕円の弧長など、三次式、或いは四次式の平方根の積分は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。

ルジャンドルの標準形

最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において $t=\sin {\theta }$ と置けば幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる。

$F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}d\theta }$
$E(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta }$
$\Pi (a;\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\frac {1}{(1-a\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}d\theta }$

特定の母数の場合

$k=0$ の場合は逆三角関数に、 $k=1$ の場合は逆双曲線関数になる。

$F(x,0)=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}=\int _{0}^{\sin ^{-1}x}{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}(\sin \theta )'d\theta =\sin ^{-1}x$
$F(x,1)=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{1-t^{2}}}dt}=\int _{0}^{\tanh ^{-1}x}{\frac {1}{1-\tanh ^{2}\theta }}(\tanh \theta )'d\theta =\tanh ^{-1}x$
$E(x,0)=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}=F(x,0)=\sin ^{-1}x$
$E(x,1)=\int _{0}^{x}{dt}=x$

また特に $a=k^{2}$ のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、

$\Pi (k^{2};\varphi ,k)={\frac {1}{1-k^{2}}}\left\{E(\varphi ,k)-{\frac {k^{2}\sin 2\varphi }{2{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\right\}$

となる。

第一種完全楕円積分

第一種完全楕円積分は、第一種楕円積分の積分範囲を $\theta =\pi /2$ までとしたものである。

$K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}d\theta$

$k^{2}\sin ^{2}\theta$ のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

${\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{-{\frac {1}{2}}}}d\theta \\&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\frac {(k^{2}\sin ^{2}\theta )^{n}}{n!}}}\right)}d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\\\end{aligned}}$

となる。ただし、 $(-1)!!=1$ と定義する。

第二種完全楕円積分

第二種完全楕円積分は、第二種楕円積分の積分範囲を $\theta =\pi /2$ までとしたものである。

$E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta$

$k^{2}\sin ^{2}\theta$ のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

${\begin{aligned}E(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {1}{2}}}d\theta \\&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)2^{n}}}{\frac {(k^{2}\sin ^{2}\theta )^{n}}{n!}}}\right)}d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1-\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}}\\\end{aligned}}$

となる。ただし、 $(-1)!!=1$ と定義する。

ルジャンドルの関係式

次の恒等式をルジャンドルの関係式という。

$K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

ランデン変換とガウス変換

次の恒等式をランデン変換という。

$F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {2}{1+k}}F\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(1+k\right)^{2}\sin ^{2}\alpha +\left({\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\alpha }}-{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\right)^{2}}},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)$

次の恒等式をガウス変換という。

$F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {1}{1+k}}F\left({\frac {(1+k)\sin \alpha }{1+k\sin ^{2}\alpha }},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)$

楕円積分の応用

楕円の求積

楕円 $x^{2}+\left({\frac {y}{c}}\right)^{2}=1$ の弧長は、

${\begin{aligned}L&=\int {ds}=\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int {\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx\\&=\int {\sqrt {1+\left(\mp {\frac {cx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx\\&=\int {\sqrt {\frac {1-x^{2}+c^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx\end{aligned}}$

となる。離心率 $k={\sqrt {1-c^{2}}}$ を用いれば、上式は、

$L=\int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx$

となり、第二種楕円積分が現れる。したがって、楕円の円周上で $x$ 座標が $0$ の点から $x$ 座標が $x$ の点までの弧長は $L(x)=E(x,k)$ となる。ここで $k=0$ とすれば楕円は真円になり、弧長は $L(x)=E(x,0)=\sin ^{-1}{x}$ となる。（ここでは $\sin$ が $x$ 軸の方向になっていることに注意すること。）