子午線弧

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子午線弧(しごせんこ、Meridian arc)とは、測地学において、地球表面又は地球楕円体に沿った南北方向の測地線をいう。地球楕円体で経線に沿う楕円となる。

天文学において、2地点の天文緯度測定と子午線弧の長さとを結合することで地球の円周半径を決定した。

初期の地球半径の決定は、紀元前3世紀エジプトにおいて、エラトステネスがシエネ(現在のアスワン)とアレクサンドリア距離を測定し地球の大きさを見積もるとともに、地球が球体であることを示したことより始まる。近代においては、18世紀後半にかけて行われたフランス科学アカデミーによるダンケルク-バルセロナ間の子午線弧長の測量が、メートルの定義のために使われた。また、緯度差1に相当する子午線弧長は、海里の定義にも参考にされた。

エラトステネスの子午線弧[編集]

アレクサンドリアの科学者エラトステネスによる測定は、地球の大円周長を計算した最初であった。彼は、夏至正午において、太陽が古代エジプトの都市シエネ(現在のアスワン)で天頂通過するということを知っていた。一方で、彼は自身の測定結果から、彼の居住地であるアレクサンドリアで、同時刻の太陽天頂距離天球大円周長の1/50であるということも日時計が作る角度(7.2°)によって既知としており、天球と地球は同心であることから、アレクサンドリアがシエネの真北にあるならばアレクサンドリア-シエネ間の距離は地球の大円周長の1/50でなければならないと結論づけた。隊商の往来日数のデータを使って、彼はアレクサンドリア-シエネ間の距離を5,000スタディアであると推定した。

この結果は250,000スタディアの地球周長を意味し、単位スタディオンをアッティカスタディオン (185m) と仮定すると、これは46,250kmに相当し、現在の値から約16%大きい。しかし、エラトステネスがエジプトスタディオン (157.5m) を使ったとすれば、彼の測定値は 39,375km(わずか1%程度の誤差)であることが分かる。いずれにしても、幾何設定と古代の状況を斟酌すれば、16%の誤差は称賛に値するものである。

シエネは、正確にアレクサンドリアの真南にはなく、太陽の軌道は想定よりも0.5°傾いていた。また、ナイル川に沿って、または、砂漠を行旅することからの陸路の距離はおよそ10%程度の誤差があったとされる。

エラトステネスによる地球形状の見積もりは、その後何百年もの間受け入れられた。およそ150年後にポセイドニオスが同様の方法によりアレクサンドリア-ロードス島間の緯度差を測定するとともに、子午線弧長を速度航海の期間から仮想的に割り出し、地球周長の算出を試みた。

中世から近世にかけての子午線弧の測量[編集]

古代における子午線弧の測量から約千年経って、9世紀前期には、アッバース朝第7代カリフであるアル=マアムーンの命により、アル=フワーリズミーがシンジャール平原において実施した、角度測量によって多少良い結果が算出された。ヨーロッパでは、それまで子午線弧長測量が行われた記録が残っておらず、14世紀ジョン・マンデヴィル英語版が編纂したとされる"The Travels of Sir John Mandeville" (大場正史訳「東方旅行記」, 東洋文庫第19巻, 平凡社, 1964, ISBN 9784582800197)において地球が球形であることが言及されている程度であったが、16世紀になって、もともと医師生理学者であり、天文学数学にも関心を持ったジャン・フェルネルフランス語版英語版が、経度がほぼ等しいパリ-アミアン間の緯度差を1とみなした上で、荷車車軸回転数からその子午線弧長を決定したことを、著書"Ioannis Fernelii Ambianatis Cosmotheoria, libros duos complexa" (1528)に書き記している。

1615年には三角測量によるものとしては最初の子午線弧長測量がヴィレブロルト・スネルにより行われたが、測量結果には数パーセントの誤差があった。その約半世紀後の1669年ジャン・ピカールが本格的な三角測量を行い、緯度差1度に相当する子午線弧長を0.3%程度の精度で測定した。しかしながら、この頃辺りまでは地球の形状はあくまでも真球であるという前提の下に議論が行われていた。

フランス科学アカデミー遠征隊のペルーとラップランドへの派遣[編集]

ピカールによる測量以降、測量精度が向上するにつれて、地球の正確な形状についての問題が顕在化し、地球は真球よりもむしろ回転楕円体に近いらしいということが分かってきたが、長球に近いのか扁球に近いのかについては未だ議論が分かれていた。ジャック・カッシーニは、1713年に自らが行ったダンケルク-ペルピニャン間の測量結果を『地球の大きさと形状』(De la grandeur et de la figure de la terre1720年)に取りまとめ、この結果とルネ・デカルト渦動説から、地球が南北に長い長球であることを提唱した。一方では、振り子時計をパリから赤道付近へ持ってゆくと遅くなるというジャン・リシェによる報告からの推測により、アイザック・ニュートンが発表した万有引力の理論から赤道方向に長い扁球であると主張する学者も多数いた。

これを受け、18世紀半ば(1735年1740年)には、フランス科学アカデミーが、地球楕円体の形状の論争に決着をつけるために赤道近傍と北極近傍の子午線弧長を比較した。この測量事業は、ピエール・ブーゲルイ・ゴダンシャルル=マリー・ド・ラ・コンダミーヌピエール・ルイ・モーペルテュイ及びアントニオ・デ・ウジョーアらによってペルー(現在のエクアドル[1]ラップランドトルネ谷)で実行された。

測量結果は2地域の同緯度差での子午線弧長に対する有意差を示し、極付近の弧長が赤道付近の弧長よりも大きいというものであった。これは赤道付近のほうが極付近よりも曲率が大きいことを示唆しており、1687年にニュートンが彼の著書『自然哲学の数学的諸原理』の第3巻において提唱したとおり、地球の数学的形状は扁球として解釈できることが確認された。カッシーニが得た測量結果が不正確であったことは、彼の弟子ともいうべきニコラ・ルイ・ド・ラカーユ1739年から2年を費やして再測量を行うことにより確認された。

子午線弧長の計算[編集]

現在では、測地学において地球楕円体の子午線弧長が単純に用いられることはなく、グローバルな測地基準点網が用いられるが、子午線弧長は地図投影法、特に横メルカトル図法ガウス・クリューゲル図法)において現在でも重要な役割を果たす。

第一離心率を用いた近似計算[編集]

地球楕円体長半径a\,、第一離心率e\, とするとき、赤道から地理緯度 \varphi\, までの子午線弧長 S(\varphi)\, は、子午線曲率半径を M_\varphi\, として以下のように与えられる。


S(\varphi)=\int_0^\varphi M_\theta\mathrm{d}\theta=\int_0^\varphi\frac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2\theta)^{3/2}}\mathrm{d}\theta=a(1-e^2)\Pi(e^2;\varphi,e)

上式には楕円積分が含まれているため、初等関数では表すことができないが、\varphi\, の一次単項式\varphi\, の偶数倍を位相とする正弦高調波無限級数で書き下すことができる。1755年オイラーが第三離心率を微小量として用いて無限級数の一般式を得た。

歴史的に広く用いられてきた無限級数式は、ジャン=バティスト・ジョゼフ・ドランブルe^2 を微小量として用い1799年に公表したものである[2]e^8 で打ち切った近似式は下記となる。


\begin{align}S(\varphi)\approx
&\;a(1-e^2)\left\{\left(1+\frac{3}{4}e^2+\frac{45}{64}e^4+\frac{175}{256}e^6+\frac{11025}{16384}e^8\right)\varphi\right. \\
&\ -\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}e^2+\frac{15}{16}e^4+\frac{525}{512}e^6+\frac{2205}{2048}e^8\right)\sin 2\varphi \\
&\ +\frac{1}{4}\left(\frac{15}{64}e^4+\frac{105}{256}e^6+\frac{2205}{4096}e^8\right)\sin 4\varphi \\
&\ -\frac{1}{6}\left(\frac{35}{512}e^6+\frac{315}{2048}e^8\right)\sin 6\varphi \\
&\ +\frac{1}{8}\left.\left(\frac{315}{16384}e^8\right)\sin 8\varphi\right\}\\
\end{align}

しかしながら、これはヘルメルトの式などに比べると、\left(\cdots\right) 内で e^2 の冪乗の級数収束性が劣り、精密計算には多くの項数を必要とした。

第三扁平率を用いた近似計算[編集]

フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルは1825年に更成緯度(reduced latitude, parametric latitude)\beta=\tan^{-1}\left(\sqrt{1-e^2}\tan\varphi\right) で表した測地線弧長 S(\beta) に対して第三扁平率 n=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}} を微小量として用い、二項定理を利用しフーリエ級数展開を行った一般式を得た[3]。その級数係数は n の偶数もしくは奇数冪乗の冪級数となる。


\begin{align}
 S(\beta) &= \frac{a}{1+n} \int_0^\beta \sqrt{1-2n\cos2\beta+n^2} \, d\beta \\
 &=\frac{a}{1+n}\left( c_0 \beta + \sum_{l=1}^\infty (-1)^l \frac{c_l}{l} \sin 2 l \beta \right) . \\
 c_l &= \sum_{k=0}^\infty a_k \, a_{k+l} .\\
 a_k &= \binom{1/2}{k} n^k = (-1)^{k+1} \frac{\left(2k-3\right)!!}{\left(2k\right)!!} n^k . 
\end{align}

ここで、j!!j二重階乗を表す。ただしこの式は子午線弧長の計算には広くは用いられなかった。

楕円積分の関係式及び n の符号反転を考えると、地理緯度 \varphi で表した一般式が得られる。これらの級数の収束性は他に知られている計算式よりも優れている。


\begin{align}
 S(\varphi) &=\frac{a}{1+n} \int_0^\varphi \frac{\left(1-n^2\right)^2}{\left(1+2n\cos2\varphi+n^2\right)^{\frac{3}{2}}} \, d\varphi \\
 &=\frac{a}{1+n}\left( \int_0^\varphi \sqrt{1+2n\cos2\varphi+n^2} \, d\varphi - \frac{2n \sin2\varphi}{\sqrt{1 + 2n \cos2\varphi + n^2}} \right) \\
&=\frac{a}{1+n}\left( c_0 \varphi + \sum_{l=1}^\infty \frac{c_l}{l} \sin 2 l \varphi - \frac{2n \sin2\varphi}{\sqrt{1 + 2n \cos2\varphi + n^2}} \right) 
\end{align}

これらの無限級数は、含まれる n の次数を l_\max で打ち切れば有限級数となる。すなわち、c_l を下記のように近似することになる。


 c_{l,\,\textrm{approx}} = \begin{cases}
    \sum_{k=0}^{\lfloor (l_{\max}-l)/2\rfloor} a_k \, a_{k+l} & (l \le l_{\max}) \\
    0 & (l>l_{\max})
  \end{cases}

ただし、\lfloor x\rfloor床関数x\, を超えない最大の整数)を表すものとする。

ヘルメルト・ベッセルの式[編集]

ベッセルはまた1837年に上記の S(\varphi) の第一式に対しても同様の手法で級数展開を得た。

さらに、1880年フリードリッヒ・ロバート・ヘルメルトがそれのnの高次係数が小さくなるよう整理し近似式を提示した[4]


\begin{align}
S(\varphi)\approx
&\;\frac{a}{1+n}\left\{\left(1+\frac{n^2}{4}+\frac{n^4}{64}\right)\varphi-\frac{3}{2}\left(n-\frac{n^3}{8}\right)\sin 2\varphi\right. \\
&\ \left.+\frac{15}{16}\left(n^2-\frac{n^4}{4}\right)\sin 4\varphi-\frac{35}{48}n^3\sin 6\varphi+\frac{315}{512}n^4\sin 8\varphi\right\}\\
\end{align}

これは一般式にするならば下記となる。


\begin{align}
 S(\varphi) &=\frac{a}{1+n}\left( c_0 \varphi + \sum_{l=1}^\infty  \left(1 - 4 l^2\right) \frac{c_l}{l} \sin 2 l \varphi \right) .
\end{align}

しかし上記の一般式と比べるならば \frac{-2n \sin2\varphi}{\sqrt{1 + 2n \cos2\varphi + n^2}} の項[5]も級数展開したことは収束性を悪くしており、(1 - 4 l^2) の乗数に現れている。またヘルメルトによる導出過程は一般論としては不備があり、一般式の証明には至らないものだった。しかしヘルメルトの式は簡潔で精度も良いため近似式としては普及した。

河瀬の式[編集]

これまで紹介された一般式は、一見簡潔に整理されているように見えるが、各 c_l が独立した無限和で構成されており、n\, についてある次数までで打ち切った近似式を系統的に求めるには非常に取扱いが困難であった。これに対し、全体としてただ一種類の無限和のみに集約された、ゲーゲンバウアー多項式を利用した級数展開による一般式が、2009年に河瀬和重により次式のように導出された[6]


\begin{align}
S(\varphi)&=\frac{a}{1+n}\sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j\varepsilon_k\right)^2\left\{\varphi+\sum_{l=1}^{2j}\left(\frac{1}{l}-4l\right)\sin 2l\varphi\prod_{m=1}^l\varepsilon_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right\} \\
\end{align}

ここで、\varepsilon_i=3n/2i-n\, である。上式で j=2\, まで取れば、ヘルメルトの提示した近似式が得られる[7]。一般的に j=J\, まで取れば、n\, について 2J\, 次までで打ち切った近似式が得られることになる。

上記の考え方に立てば、ベッセルが1825年に得た S(\beta) 及び1837年に得た S(\varphi) を次のように書き下すこともできる。


\begin{align}
S(\beta)&=\frac{a}{1+n}\sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j\bar{\varepsilon}_k\right)^2\left(\beta+\sum_{l=1}^{2j}\frac{\sin 2l\beta}{l}\prod_{m=1}^{l}\bar{\varepsilon}_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right) ,\\
S(\varphi)&=\frac{a(1-n^2)^2}{1+n}\sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j \delta_k\right)^2\left(\varphi+\sum_{l=1}^{2j}\frac{\sin 2l\varphi}{l}\prod_{m=1}^{l}\delta_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right) .
\end{align}

ただし、\bar{\varepsilon}_i=-\varepsilon_i=n-3n/2i 及び \delta_i=-n/2i-n である。

脚注[編集]

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  1. ^ 18世紀においては、エクアドルという国はまだ存在していなかった。当該地域は、当時スペインの管轄下に置かれており、後のキト市となる“キト特別行政区”と呼ばれていた。1830年に独立を果たした際に国の名称として採用された“エクアドル共和国”(「エクアドル」にはスペイン語で『赤道』の意味がある)には、“赤道付近の地域”として選ばれたこの地において実施されることとなった、フランス測地測量事業の名声が影響していると考えられている。
  2. ^ この式は日本でも広く用いられ、昭和61年版から平成21年版までの理科年表(地学部)にも掲載されていた。
  3. ^ 二項定理を利用した級数展開は、
    
\begin{align}
& \left(1+2n\cos\theta+n^2\right)^\alpha \\
&= \left(1+n\, e^{i\theta}\right)^\alpha \left(1+n\, e^{-i\theta}\right)^\alpha \\
&= \left(\sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} n^k e^{ik\theta} \right) \left(\sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} n^k\, e^{-ik\theta} \right) \\
&= \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k}^2 n^{2k} + 2 \sum_{l=1}^\infty \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} \binom{\alpha}{k+l}\, n^{2k+l} \cos l\theta \\
\end{align}
  4. ^ ヘルメルトの提示では実際には式の形にまとまっていなかったが、1912年ヨハン・ハインリヒ・ルイス・クリューゲルドイツ語版がヘルメルトの結果を式の形に取りまとめている。
  5. ^ この項は、不完全楕円積分項の \varphi に関する二階微分に等しいので、級数展開形では乗数 - 4 l^2 が得られる。
  6. ^ ゲーゲンバウアー多項式を利用した級数展開は(二項定理を利用した級数展開の和の取りまとめ方を変えることでも同様の結果が得られるが)、
    
\begin{align}
& \left(1+2n\cos\theta+n^2\right)^\alpha \\
&= \sum_{k=0}^\infty (-n)^k C_k^{(-\alpha)}(\cos\theta) \\
&= \sum_{k=0}^\infty (-n)^k \sum_{l=0}^k \binom{k-l-\alpha-1}{k-l} \binom{l-\alpha-1}{l} \cos (k-2l)\theta \\
&= \sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j \nu_k\right)^2\left(1+2\sum_{l=1}^{2j}\cos 2l\varphi\prod_{m=1}^{l}\nu_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right) \\
\end{align}
    ただし、\nu_i=(\alpha+1-i)n/i である。
  7. ^ 平成23年版の理科年表から、それまで掲載されていたドランブルの近似式に取って代わり、河瀬の一般式とヘルメルトの近似式が掲載されている。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]