子午線弧

子午線弧（しごせんこ、Meridian arc）とは、測地学において、地球表面又は参照楕円体に沿った南北方向の測地線をいう。天文学においては、2地点の天文緯度測定と地球の弧の長さを結合することで地球の半径（円周を通して）を決定するための方法をいう。

初期の地球半径の決定は、紀元前3世紀のエジプトにおいて、エラトステネスがシエネ（現在のアスワン）とアレクサンドリアの距離を測定し地球の大きさを見積もるとともに、地球が球体であることを示したことより始まる。近代においては、18世紀後半にかけて行われたフランス科学アカデミーによるダンケルク-バルセロナ間の子午線弧長の測量が、メートルの定義のために使われた。また、緯度差1分に相当する子午線弧長は、海里の定義にも参考にされた。

エラトステネスの子午線弧

アレクサンドリアの科学者エラトステネスによる測定は、地球の大円周長を計算した最初であった。彼は、夏至の正午において、太陽が古代エジプトの都市シエネ（現在のアスワン）で天頂を通過するということを知っていた。一方で、彼は自身の測定結果から、彼の居住地であるアレクサンドリアで、同時刻の太陽天頂距離が天球大円周長の1/50であるということも日時計が作る角度(7.2°)によって既知としており、天球と地球は同心であることから、アレクサンドリアがシエネの真北にあるならばアレクサンドリア-シエネ間の距離は地球の大円周長の1/50でなければならないと結論づけた。隊商の往来日数のデータを使って、彼はアレクサンドリア-シエネ間の距離を5,000スタディアであると推定した。

この結果は250,000スタディアの地球周長を意味し、単位スタディオンをアッティカスタディオン (185m) と仮定すると、これは46,250kmに相当し、現在の値から約16%大きい。しかし、エラトステネスがエジプトスタディオン (157.5m) を使ったとすれば、彼の測定値は 39,375km（わずか1%程度の誤差）であることが分かる。いずれにしても、幾何設定と古代の状況を斟酌すれば、16%の誤差は称賛に値するものである。

シエネは、正確にアレクサンドリアの真南にはなく、太陽の軌道は想定よりも0.5°傾いていた。また、ナイル川に沿って、または、砂漠を行旅することからの陸路の距離はおよそ10%程度の誤差があったとされる。

エラトステネスによる地球形状の見積もりは、その後何百年もの間受け入れられた。およそ150年後にポセイドニオスが同様の方法によりアレクサンドリア-ロードス島間の緯度差を測定するとともに、子午線弧長を船の速度と航海の期間から仮想的に割り出し、地球周長の算出を試みた。

中世から近世にかけての子午線弧の測量

古代における子午線弧の測量から約千年経って、9世紀前期には、アッバース朝第7代カリフであるアル＝マアムーンの命により、アル＝フワーリズミーがシンジャール平原において実施した、角度測量によって多少良い結果が算出された。ヨーロッパでは、それまで子午線弧長測量が行われた記録が残っておらず、14世紀にジョン・マンデヴィルが編纂したとされる"The Travels of Sir John Mandeville" （大場正史訳「東方旅行記」, 東洋文庫第19巻, 平凡社, 1964, ISBN 9784582800197）において地球が球形であることが言及されている程度であったが、16世紀になって、もともと医師、生理学者であり、天文学、数学にも関心を持ったジャン・フェルネルが、経度がほぼ等しいパリ-アミアン間の緯度差を1度とみなした上で、荷車の車軸の回転数からその子午線弧長を決定したことを、著書"Ioannis Fernelii Ambianatis Cosmotheoria, libros duos complexa" (1528)に書き記している。

1615年には三角測量によるものとしては最初の子午線弧長測量がヴィレブロルト・スネルにより行われたが、測量結果には数パーセントの誤差があった。その約半世紀後の1669年にジャン・ピカールが本格的な三角測量を行い、緯度差1度に相当する子午線弧長を0.3%程度の精度で測定した。しかしながら、この頃辺りまでは地球の形状はあくまでも真球であるという前提の下に議論が行われていた。

フランス科学アカデミー遠征隊のペルーとラップランドへの派遣

ピカールによる測量以降、測量精度が向上するにつれて、地球の正確な形状についての問題が顕在化し、地球は真球よりもむしろ回転楕円体に近いらしいということが分かってきたが、長球に近いのか扁球に近いのかについては未だ議論が分かれていた。ジャック・カッシーニは、1713年に自らが行ったダンケルク-ペルピニャン間の測量結果を『地球の大きさと形状』（De la grandeur et de la figure de la terre、1720年）に取りまとめ、この結果とルネ・デカルトの渦動説から、地球が南北に長い長球であることを提唱した。一方では、振り子時計をパリから赤道付近へ持ってゆくと遅くなるというジャン・リシェによる報告からの推測により、アイザック・ニュートンが発表した万有引力の理論から赤道方向に長い扁球であると主張する学者も多数いた。

これを受け、18世紀半ば（1735年～1740年）には、フランス科学アカデミーが、地球楕円体の形状の論争に決着をつけるために赤道近傍と北極近傍の子午線弧長を比較した。この測量事業は、ピエール・ブーゲ、ルイ・ゴダン、シャルル＝マリー・ド・ラ・コンダミーヌ、ピエール・ルイ・モーペルテュイ及びアントニオ・デ・ウジョーアらによってペルー（現在のエクアドル）とラップランドで実行された。

測量結果は2地域の同緯度差での子午線弧長に対する有意差を示し、極付近の弧長が赤道付近の弧長よりも大きいというものであった。これは赤道付近のほうが極付近よりも曲率が大きいことを示唆しており、1687年にニュートンが彼の著書『自然哲学の数学的諸原理』の第3巻において提唱したとおり、地球の数学的形状は扁球として解釈できることが確認された。カッシーニが得た測量結果が不正確であったことは、彼の弟子ともいうべきニコラ・ルイ・ド・ラカーユが1739年から2年を費やして再測量を行うことにより確認された。

子午線弧長の計算

現在では、測地学において地球楕円体の子午線弧長が単純に用いられることはなく、グローバルな測地基準点網が用いられるが、子午線弧長は地図投影法、特に横メルカトル図法（ガウス・クリューゲル図法）において現在でも重要な役割を果たす。

第一離心率を用いた近似計算

地球楕円体の長半径を $a\,$、第一離心率を $e\,$ とするとき、赤道から地理緯度 $\varphi\,$ までの子午線弧長 $S(\varphi)\,$ は、子午線曲率半径を $M_\varphi\,$ として以下のように与えられる。

$S(\varphi)=\int_0^\varphi M_\theta\mathrm{d}\theta=\int_0^\varphi\frac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2\theta)^{3/2}}\mathrm{d}\theta=a(1-e^2)\Pi(e^2;\varphi,e)$

上式には楕円積分が含まれているため、初等関数では表すことができないが、$\varphi\,$ の一次単項式と $\varphi\,$ の偶数倍を位相とする正弦高調波の無限級数で書き下すことができる。

この無限級数の、確認できる最も古い近似導出は、メートルの定義のために実施されたフランス科学アカデミーによるダンケルク-バルセロナ間の子午線弧長測量に参加した、ジャン＝バティスト・ジョゼフ・ドランブルが1799年に公表したものであり、主旨としては次式のようなものであった。

$\begin{align}S(\varphi)\approx &\;a(1-e^2)\left\{\left(1+\frac{3}{4}e^2+\frac{45}{64}e^4+\frac{175}{256}e^6+\frac{11025}{16384}e^8\right)\varphi\right. \\ &\ -\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}e^2+\frac{15}{16}e^4+\frac{525}{512}e^6+\frac{2205}{2048}e^8\right)\sin 2\varphi \\ &\ +\frac{1}{4}\left(\frac{15}{64}e^4+\frac{105}{256}e^6+\frac{2205}{4096}e^8\right)\sin 4\varphi \\ &\ -\frac{1}{6}\left(\frac{35}{512}e^6+\frac{315}{2048}e^8\right)\sin 6\varphi \\ &\ +\frac{1}{8}\left.\left(\frac{315}{16384}e^8\right)\sin 8\varphi\right\}\\ \end{align}$

しかしながら、この級数展開は必ずしも収束がよいとは言えず、精密な測量計算には更に高次の展開を必要としていた。

第三扁平率を用いた近似計算

一方で、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルが第一離心率 $e\,$ の代わりに $n=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}}\simeq\frac{e^2}{4}$ で定義される新たな量（第三扁平率）$n\,$ を用いて級数展開を試みた。ベッセルの得た結果は、次のとおりである。

$S(\varphi)=a(1-n)^2(1+n)N\left(\phi-\alpha\sin 2\phi+\frac{1}{2}\alpha'\sin4\phi-\frac{1}{3}\alpha''\sin6\phi+\cdots\right)$

ここで、

$\begin{align} N &= 1+\frac{9}{4}n^2+\frac{225}{64}n^4+\cdots,\\[2pt] N\alpha &= \frac{3}{2}n+\frac{45}{16}n^3+\frac{525}{128}n^5+\cdots,\\[2pt] N\alpha' &= \frac{15}{8}n^2+\frac{105}{32}n^4+\cdots,\\[2pt] N\alpha'' &= \frac{35}{16}n^3+\frac{945}{256}n^5+\cdots \end{align}$

である。上式は、$e^2\,$ の4分の1程度のパラメータである $n\,$ での展開であることもさることながら、展開の冪乗数が交互に現れ、効率的な収束性を有している。

さらに、1880年には、フリードリッヒ・ロバート・ヘルメルトがベッセルの展開式中にある係数 $(1-n)^2(1+n)\,$ を含め、展開項の寄与の一部を分母因子 $(1+n)\,$ に繰り込んだ、より簡潔な近似式を提示した。1912年にヨハン・ハインリヒ・ルイス・クリューゲルが次のようにヘルメルトの結果を取りまとめている。

$\begin{align}S(\varphi)\approx &\;\frac{a}{1+n}\left\{\left(1+\frac{n^2}{4}+\frac{n^4}{64}\right)\varphi-\frac{3}{2}\left(n-\frac{n^3}{8}\right)\sin 2\varphi\right. \\ &\ \left.+\frac{15}{16}\left(n^2-\frac{n^4}{4}\right)\sin 4\varphi-\frac{35}{48}n^3\sin 6\varphi+\frac{315}{512}n^4\sin 8\varphi\right\}\\ \end{align}$

上式は簡潔でありながら非常に収束がよく、通常の計算には概ね十分な結果を与えるが、ヘルメルトの文献はより高次の展開項の導出について必ずしも明確な指針を与えたものではなかった。これに対し、2009年に河瀬和重により次式のようなヘルメルトの近似式を包含した一般化された計算式が導出された。

$S(\varphi)=\frac{a}{1+n}\sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j\varepsilon_k\right)^2\left\{\varphi+\sum_{l=1}^{2j}\left(\frac{1}{l}-4l\right)\sin 2l\varphi\prod_{m=1}^l\varepsilon_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right\}$

ここで、$\varepsilon_i=3n/2i-n\,$ であり、$\lfloor x\rfloor$ は床関数（$x\,$ を超えない最大の整数）を表すものとする。上式で $j=2\,$ まで取れば、ヘルメルトの提示した近似式が得られる。

上式の導出過程の類推により、地理緯度の代わりに、更成緯度 $\beta(\varphi)=\tan^{-1}\left(\frac{1-n}{1+n}\tan\varphi\right)$ による一般化された子午線弧長の計算式を次のように書き下すこともできる。

$\begin{align} S(\beta)&=S\left(\frac{\pi}{2}\right)-aE\left(\frac{\pi}{2}-\beta, \frac{2\sqrt n}{1+n}\right)\\ &=\frac{a}{1+n}\sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j\bar{\varepsilon}_k\right)^2\left(\beta+\sum_{l=1}^{2j}\frac{\sin 2l\beta}{l}\prod_{m=1}^{l}\bar{\varepsilon}_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right), \end{align}$

ただし、$\bar{\varepsilon}_i=-\varepsilon_i=n-3n/2i$ である。

上式から分かるように、地理緯度からの変換の手間はあるものの、ヘルメルトの近似式に比べ、更成緯度による近似式は $\sin 2l\beta$ の係数の絶対値が $\frac{1}{4l^{2}-1}$ 倍に小さくなるので、より収束性が向上する。

参考文献

• Delambre, J. B. J. (1799): Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien; précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre, De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
• Bessel, F. W. (1837): Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht, Astronomische Nachrichten, 14, 333–346
• Helmert, F. R. (1880): Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie, Einleitung und 1 Teil, Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig, 44–48
• Krüger, L. (1912): Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, Veröffentlichung Königlich Preuszischen geodätischen Institutes, Neue Folge, 52, Druck und Verlag von B. G. Teubner, Potsdam, 12
• 河瀬和重 (2009): 緯度を与えて赤道からの子午線弧長を求める一般的な計算式, 国土地理院時報, 119, 45–55
• 飛田幹男, 河瀬和重, 政春尋志 (2009): 赤道からある緯度までの子午線長を計算する3つの計算式の比較, 測地学会誌, 55(3), 315–324

関連項目

• 弧
• 大圏コース
• シュトルーヴェの測地弧
• トルネ谷
• フランス測地測量遠征隊
• 修正緯度

外部リンク

• Weekend Mathematics: コロキウム室 No.1747