断熱過程

断熱過程（だんねつかてい、英語：adiabatic process）とは、外部との熱のやりとり（熱接触）がない熱力学過程のこと。

準静的断熱過程

代表例として準静的断熱過程(カルノーサイクル)がある。これは外部と仕事のやりとりのみが存在する準静的な過程である。この時、過程は可逆である。可逆な過程ではエントロピー（S とする）と熱量（Q とする）の間には次のような関係がある。

$dS={d'Q \over T}$

断熱過程では熱Qのやりとりがないから、d'Q = 0 であり、これにより dS = 0 となる。これはこの過程でエントロピーSが一定であることを意味し、等エントロピー過程とも言われる。

広義の断熱過程では不可逆過程を含むことがある。

このとき、熱力学第一法則の式、 $d'Q=dU+dW$ を使うと、

$dU=-dW=-pdV$

となる。dU は注目している系の内部エネルギーの増分、dW は系が外部に行う仕事である。これから熱接触のない状態で気体を圧縮すると熱くなるという現象（断熱圧縮）を説明することができる。圧縮することは系に外部から仕事が行われるということで、系の内部エネルギーが上昇し熱くなるのだ。逆に断熱過程で気体の体積が増大した場合、系の温度は低下する（断熱膨張）。

また、内部エネルギーの増分は定積モル比熱 $c_{v}$ を用いて次のように表される。

$dU=nc_{v}dT$

n は気体のモル数、T は絶対温度である。ここで、理想気体の状態方程式を微分すると次の式が得られる。

$pdV+Vdp=nRdT$

上の二式と断熱の式 dU=-pdV から温度の項を消去すると、次のようになる。

$\left(1+{\frac {R}{c_{v}}}\right)pdV+Vdp=0$

ここで、マイヤーの法則

$c_{p}=c_{v}+R$

を用いると上式は

$\left(1+{\frac {R}{c_{v}}}\right)pdV+Vdp={\frac {c_{v}+R}{c_{v}}}pdV+Vdp={\frac {c_{p}}{c_{v}}}pdV+Vdp=0$

となる。ただし $c_{p}$ は定圧モル比熱である。

ここで

$\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}$

として上式を積分すると、次のような圧力と体積の関係が得られる。

$\gamma \log {V}+\log {p}=const.$

よって以下の関係が成り立つ。

$PV^{\gamma }=const.$

また、理想気体の状態方程式

$pV=nRT$

を用いると以下の関係も成り立つ。

$TV^{\gamma -1}=const.$

これをポアソンの法則という。

理想気体の断熱過程による仕事

断熱過程による仕事はポアソンの法則を用いて具体的に求めることができる。 Cを定数とするとポアソンの法則より

$p={\frac {C}{V^{\gamma }}}$

よって断熱過程により状態Aから状態Bに移行するとき、系が外部に行う仕事 $W_{A\to B}$ は

$W_{A\to B}=\int _{V_{A}}^{V_{B}}pdV=\int _{V_{A}}^{V_{B}}{\frac {C}{V^{\gamma }}}dV={\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {C}{V_{A}^{\gamma -1}}}-{\frac {C}{V_{B}^{\gamma -1}}}\right)$

ここで

$p_{A}V_{A}^{\gamma }=p_{B}V_{B}^{\gamma }=C$

より

$W_{A\to B}={\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {p_{A}V_{A}^{\gamma }}{V_{A}^{\gamma -1}}}-{\frac {p_{B}V_{B}^{\gamma }}{V_{B}^{\gamma -1}}}\right)={\frac {1}{\gamma -1}}(p_{A}V_{A}-p_{B}V_{B})$

さらに、pV=nRTを用いて

$W_{A\to B}={\frac {nR}{\gamma -1}}(T_{A}-T_{B})={\frac {nc_{v}R}{c_{p}-c_{v}}}(T_{A}-T_{B})=nc_{v}(T_{A}-T_{B})$

これは系が外部に行う仕事が内部エネルギーの変化に等しいことを表している。

準静的断熱過程

理想気体の断熱過程による仕事

関連項目