同値

同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。

英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iffともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。PとQが同値であることを「PはQの（QはPの）必要十分条件である」という。なお、「必要条件」「十分条件」という用語もある。

演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。

性質

同値の基本的な性質は以下のとおり。$\Rightarrow$は論理包含（ならば）、$\land$は論理積（かつ）。

• 反射律: $p\Leftrightarrow p$
• 対称律: $(p\Leftrightarrow q)\Rightarrow (q\Leftrightarrow p)$
• 推移律: $\{(p\Leftrightarrow q)\land (q\Leftrightarrow r)\}\Rightarrow (p\Leftrightarrow r)$

他にも次のような性質がある。$\lnot$は否定、$\veebar$は排他的論理和。

• 反対称律: $\{(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)\}\Rightarrow (p\Leftrightarrow q)$
• $(p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow \lnot (p\veebar q)$

真理値表

命題 P	命題 Q	P ⇔ Q
真	真	真
真	偽	偽
偽	真	偽
偽	偽	真

概要

命題 P と命題 Q に対して、P⇒Q のとき、

P は Q であるための十分条件

Q は P であるための必要条件

であるという。P⇒Q の逆 Q⇒P でもあるとき、Q は P であるための（または P は Q であるための）必要十分条件、または命題 P と Q は同値であるという。

なお数学で、ある集合の2つの元が同値関係にあるとき、それらは互いに「同値である」と言うことがあるが、それとは区別すべきものである。ただし、二つの命題が同値であるという "関係" は同値律を満たすので "命題の全体" における "同値関係" になっている。

例

以下の命題 p, q, r を考える。

命題 p: x は 3 である。

命題 q: x - 3 = 0 が成立する。

命題 r: x は x² -5x + 6 の根である。

これらについて、次のことが確かめられる。

• 命題 p が真であるとき、命題 q, r ともに真である。
• 命題 p が偽であるとき、命題 q は偽である。しかし x = 2 とすれば、命題 p が偽であるにも拘らず、命題 r は真となる。
• 命題 q が真であるとき、命題 p, r はともに真である。
• 命題 q が偽であるとき、命題 p は偽である。しかし x = 2 とすれば、命題 q が偽であるにも拘らず、命題 r は真となる。
• 命題 r が真であるとき、x = 2 または x = 3（x - 2 = 0 または x - 3 = 0）であるが、x = 2 のときには命題 p, q は偽である。
• 命題 r が偽であるとき、命題 p,q はともに偽である。

よって次のことが帰結される。

1. 命題 p と命題 q は同値である。
2. 命題 p と命題 r は同値でない。
3. 命題 q と命題 r は同値でない。

関連項目

• 数理論理学
• 命題
• 同一性

外部リンク

• Necessary and Sufficient Conditions （英語） - スタンフォード哲学百科事典「スタンフォード哲学百科事典にある「必要条件と十分条件」についての記事」の項目。
• Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com (英語).