初等関数

初等関数（しょとうかんすう）とは、実数または複素数の関数で、代数関数、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを有限回繰り返して得られる関数のことである。ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない。初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という。双曲線関数やその逆関数も初等関数である。

初等関数の導関数はつねに初等関数になるが、初等関数の不定積分や初等関数を用いた微分方程式の解なども一般に初等関数にはならない。例えば、次の二つの不定積分

${\begin{aligned}f(x)=\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}},\\g(x)=\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}\end{aligned}}$

は似た形であるにもかかわらず、f (x) は解けて Arcsin x + C となるが、g (x) は初等関数の範囲では解けない。 g (x) は、特殊関数である楕円積分を用いて F(Arcsin x, −1) + C と表示される。

初等関数の逆関数は必ずしも初等関数になるとは限らない（例えばランベルトのW関数）。

例

以下は初等関数の例である。

• 定数関数、多項式関数、有理関数
• 指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数

参考文献

• 加藤周一、伊藤正男、今西錦司、宇沢弘文『世界大百科事典』（改訂新版）平凡社、2007年。ISBN 978-4582034004。 
• 竹之内脩、相葉伸、青木栄一、青木淳一『スーパーニッポニカ プロフェッショナル』（DVD-ROM版）小学館、2005年。ISBN 978-4099067458。