二体問題

古典力学において、二体問題（にたいもんだい、英: Two-body problem）とは、互いに重力相互作用を及ぼす2つの質点の動きを扱う問題である。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、共通重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などがある。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

問題の記述

$t$ を時刻、 ${\boldsymbol {x}}_{1}(t)$ , ${\boldsymbol {x}}_{2}(t)$ を時刻 $t$ における2つの質点の位置ベクトル、 $m_{1}$ , $m_{2}$ を2つの質点の質量、 $G$ を万有引力定数、 ${\boldsymbol {x}}_{1}(0)$ , ${\boldsymbol {x}}_{2}(0)$ を最初の位置ベクトル、 ${\boldsymbol {v}}_{1}(0)$ , ${\boldsymbol {v}}_{2}(0)$ を最初の速度ベクトルとする。二体問題の最終的な目標は、連立方程式

{\begin{cases}m_{1}{\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}_{1}}{dt^{2}}}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}{|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|^{3}}}\\m_{2}{\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}_{2}}{dt^{2}}}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {{\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {x}}_{1}}{|{\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {x}}_{1}|^{3}}}\end{cases}}

を解き、ベクトル関数 ${\boldsymbol {x}}_{1}(t)$ , ${\boldsymbol {x}}_{2}(t)$ を、それぞれ $m_{1}$ , $m_{2}$ , $t$ , $G$ , ${\boldsymbol {x}}_{1}(0)$ , ${\boldsymbol {x}}_{2}(0)$ , ${\boldsymbol {v}}_{1}(0)$ , ${\boldsymbol {v}}_{2}(0)$ を用いて表すことである。

運動の第2法則により、

{\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}\quad \quad \quad ({\text{式　1}})

{\boldsymbol {F}}_{21}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}\quad \quad \quad ({\text{式　2}})

と書ける。ここで、

{\boldsymbol {F}}_{12}

は質量1が質量2から受ける力であり、

{\boldsymbol {F}}_{21}

は質量2が質量1から受ける力である。

これをもとに、2つの一体問題に帰着させることで、二体問題を解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル ${\boldsymbol {r}}\equiv {\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡 ${\boldsymbol {x}}_{1}(t)$ と ${\boldsymbol {x}}_{2}(t)$ が記述できる。

重心の動き

式1と式2を足すと、

m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }={\boldsymbol {F}}_{12}+{\boldsymbol {F}}_{21}=0

となる。ここで、2つめの等号は運動の第3法則 ${\boldsymbol {F}}_{12}=-{\boldsymbol {F}}_{21}$ を用いた。これを変形して

{\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }\equiv {\frac {m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+m_{2}{\boldsymbol {x}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }=0

は、重心の速度 ${\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }$ と、全運動量 $m_{1}{\dot {\boldsymbol {x}}}_{1}+m_{2}{\dot {\boldsymbol {x}}}_{2}$ が一定であることを意味する。つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

{\ddot {\boldsymbol {r}}}={\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}-{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}=\left({\frac {{\boldsymbol {F}}_{12}}{m_{1}}}-{\frac {{\boldsymbol {F}}_{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right){\boldsymbol {F}}_{12}

が得られる。ここで、 ${\boldsymbol {r}}$ は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力は ${\boldsymbol {r}}$ の関数となり、 ${\boldsymbol {x}}_{1}$ と ${\boldsymbol {x}}_{2}$ の絶対値には関係しない。この式は次のように書ける。

\mu {\ddot {\boldsymbol {r}}}={\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})

ここで $\mu$ は換算質量であり、

\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

である。

従って、 ${\boldsymbol {x}}_{1}$ と ${\boldsymbol {x}}_{2}$ の軌跡の方程式は、時刻 $t$ における2物体間の重心の位置ベクトル ${\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)$ , 質量2から質量1への変位ベクトル ${\boldsymbol {r}}(t)$ を使って、