ビリアル定理

ビリアル定理(Virial theorem)とは、多粒子系(N粒子系)において、粒子が動き得る範囲が有限である場合に、古典力学、量子力学系のいずれにおいても成立する以下の関係式のことである。

$\left\langle K \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^N { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} } \right\rangle = \sum_{i=1}^N \left\langle { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} } \right\rangle = -{1 \over 2} \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle$

Kは系全体の運動エネルギー

$K = \sum_{i=1}^N { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} }$

で、p_iは粒子iの運動量、r_iは粒子iの位置座標、F_iは粒子iに働く力、m_iは粒子iの質量である。 $\left\langle \cdots \right\rangle$ は物理量の平均操作(一般に長時間平均)を意味する。

粒子iに働く力F_iが、系全体のポテンシャルエネルギー $V = V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N)$ を用いて $\mathbf{F}_i = - \nabla_{\mathbf{r}_i} V (\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_i, \cdots, \mathbf{r}_N)$ と表せるならば、ビリアル定理は、

$\left\langle K \right\rangle = {1 \over 2} \sum_{i=1}^N \left\langle \nabla_{\mathbf{r}_i} V \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle$

という形で表せる。

ポテンシャルエネルギーVが中心力ポテンシャルで、粒子間の距離のn+1乗(rⁿ⁺¹)に比例する形、すなわち、

$V(\mathbf{r}) = a\mathbf{r}^{n+1}$

という形で表せるならば、

$\left\langle K \right\rangle = {n+1 \over 2} \left\langle V \right\rangle$

となる。中心力が電磁気力や重力の場合を考えると、n = -2であるから、

$\left\langle K \right\rangle = -{1 \over 2}\left\langle V \right\rangle$

となる。ビリアル定理から次のことが言える。

系全体の運動エネルギーKの時間平均は、系全体のポテンシャルエネルギーVの時間平均の-1/2に等しい。

また、同等のこととして、

系全体のポテンシャルエネルギーVの時間平均は、系全体の全エネルギーの時間平均に等しい。

系全体の運動エネルギーKの時間平均と系全体の全エネルギーの時間平均を加えた物は0。

ということが示される。

ビリアル定理という名前はビリアル(ラテン語で「力」の意)と呼ばれる値に由来している。ビリアルは $G = \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{p}_i$ によって定義される値で、1870年クラウジウスが命名した。

証明 [編集]

古典力学系の場合のビリアル定理の証明。ビリアル

$G = \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{p}_i$

を時間で微分すると、

${{d G} \over {dt}} = \sum_i {{d \mathbf{r}_i} \over {dt}} \cdot \mathbf{p}_i + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot {{d \mathbf{p}_i} \over {dt}} = \sum_i {\mathbf{p}_i \over m_i} \cdot \mathbf{p}_i + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i = 2K + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i$

つまり、

${{d G} \over {dt}} = 2K + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i$ 。

この式の両辺を0から時間tの範囲で積分してtで割り、 $t \to \infty$ の極限をとって長時間平均する。すると、粒子が動き得る範囲は有限なのでGも有限だから、左辺は

$\lim_{t \to \infty} {{1 \over t} \int_{0}^{t} {{d G} \over {dt}}} dt = \lim_{t \to \infty} {G(t)-G(0) \over t} =0$ 。

したがって、

$0=2 \left\langle K \right\rangle + \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle$

つまり、ビリアル定理

$\left\langle K \right\rangle = -{1 \over 2} \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle$

を得る。次に、ポテンシャルエネルギーVが中心力ポテンシャルで、粒子間の距離のn+1乗(rⁿ⁺¹)に比例する形、すなわち、

$V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N) = \sum_{i<j} a |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n+1}$

のとき（和は $i=1, 2, \cdot, N$ 、 $j=1, 2, \cdot, N$ 、 $i < j$ の2重の和）、粒子iに働く力 $\mathbf{F}_i$ は，

$\mathbf{F}_i = -\nabla_{\mathbf{r}_i} V = -a (n+1) \sum_{j \ne i} (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}) |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n-1} = \sum_{j \ne i} \mathbf{F}_{ij}$ 。

ここで、

$\mathbf{F}_{ij}= - a (n+1) (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}) |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n-1}$

は、粒子jから粒子iに働く力である。これを、ビリアル定理の右辺に代入すると、

$-{1 \over 2} \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle = -{1 \over 2} \left\langle \sum_{i \ne j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ij} \right\rangle$ 。

和は $i=1, 2, \cdot, N$ 、 $j=1, 2, \cdot, N$ 、 $i \ne j$ の2重の和である。この和を $i > j$ と $i < j$ に分け，

$\sum_{i \ne j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} = \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} + \sum_{i < j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}$

第2項で添え字を入れ替えて $\mathbf{F}_{ji}=-\mathbf{F}_{ij}$ に注意すると、

$= \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} + \sum_{j < i} \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{F}_{ij} = \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} - \sum_{j < i} \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{F}_{ji} = \sum_{i > j} (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) \cdot \mathbf{F}_{ji} = -(n+1) V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N)$ 。

したがって、

$\left\langle K \right\rangle = {n+1 \over 2} \left\langle V \right\rangle$ 。

応用 [編集]

ビリアル定理を太陽系や銀河を始めとする、非常に複雑な物理体系（重力多体系）に適用することにより、計算結果を簡素化することができるので非常に便利である。

また、ビリアル定理が成り立つ場合、次式から系の圧力を求めることができる。

$P = {1 \over {3 V}} (2 \left\langle K \right\rangle + \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle )$

ここで、Pは圧力、Vは系の体積である。気体分子運動論では上式から圧力を求める。

一般化 [編集]

一般化されたビリアル定理を、超ビリアル定理(Hypervirial theorem)と言う。座標rと運動量P（互いに共役である）を考え、この2つの量を変数とした関数 $W(\mathbf{r},\mathbf{P})$ を考える。この関数は、冒頭での粒子系と同様な境界条件の基で任意に選べるとする。ハミルトニアンをHとして、ポワソン括弧（詳細はハミルトン力学を参照）の時間平均、