二体問題

二体問題（にたいもんだい、英: Two-body problem）は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、共通の重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

問題の記述 [編集]

$\boldsymbol{x}_1$ と $\boldsymbol{x}_2$ を2つの物体の位置、 $m_1$ 、 $m_2$ を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間 $t$ に対して軌跡 $\boldsymbol{x}_1 (t)$ 及び $\boldsymbol{x}_2 (t)$ を確定させることである。

最初の位置を

$\boldsymbol{x}_1 (t=0)$ と $\boldsymbol{x}_2 (t=0)$ 、

最初の速さを

$\boldsymbol{v}_1 (t=0)$ と $\boldsymbol{v}_2 (t=0)$

と置くと、運動の第2法則により

$\boldsymbol{F}_{12}(\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2) = m_1 \ddot{\boldsymbol{x}}_1 \quad \quad \quad (\text{Equation 1})$

$\boldsymbol{F}_{21}(\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2) = m_2 \ddot{\boldsymbol{x}}_2 \quad \quad \quad (\text{Equation 2})$

と書ける。ここで、

$\boldsymbol{F}_{12}$ は質量1が質量2から受ける力であり、

$\boldsymbol{F}_{21}$ は質量2が質量1から受ける力である。

この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル $\boldsymbol{r} \equiv \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2$ の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡 $\boldsymbol{x}_1 (t)$ と $\boldsymbol{x}_2 (t)$ が記述できる。

重心の動き [編集]

式1と式2を足すと、

$m_1 \ddot{\boldsymbol{x}}_1 + m_2 \ddot{\boldsymbol{x}}_2 =( m_1 + m_2 ) \ddot{\boldsymbol{x}}_{cm} = \boldsymbol{F}_{12} + \boldsymbol{F}_{21} =0$

となる。ここで運動の第3法則 $\boldsymbol{F}_{12} =- \boldsymbol{F}_{21}$ を使うと、

$\boldsymbol{x}_{cm} \equiv \frac{m_1 \boldsymbol{x}_1 + m_2 \boldsymbol{x}_2}{m_1 + m_2}$

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

$\ddot{\boldsymbol{x}}_{cm} =0$

は、重心の速度 $\dot{\boldsymbol{x}}_{cm}$ と、全運動量 $m_1 \dot{\boldsymbol{x}}_1 + m_2 \dot{\boldsymbol{x}}_2$ が一定であることを意味する。つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き [編集]

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

$\ddot{\boldsymbol{r}} = \ddot{\boldsymbol{x}}_1 - \ddot{\boldsymbol{x}}_2 = \left( \frac{\boldsymbol{F}_{12}}{m_1} - \frac{\boldsymbol{F}_{21}}{m_2} \right) = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \boldsymbol{F}_{12}$