二体問題

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二体問題(にたいもんだい、: Two-body problem)は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星恒星の周りを回る惑星、共通の重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

Orbit5.gif Orbit2.gif

問題の記述[編集]

\boldsymbol{x}_1\boldsymbol{x}_2を2つの物体の位置、m_1m_2を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間tに対して軌跡\boldsymbol{x}_1 (t)及び\boldsymbol{x}_2 (t)を確定させることである。

最初の位置を

\boldsymbol{x}_1 (t=0)\boldsymbol{x}_2 (t=0)

最初の速さを

\boldsymbol{v}_1 (t=0)\boldsymbol{v}_2 (t=0)

と置くと、運動の第2法則により

\boldsymbol{F}_{12}(\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2) = m_1 \ddot{\boldsymbol{x}}_1 \quad \quad \quad (\text{Equation 1})
\boldsymbol{F}_{21}(\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2) = m_2 \ddot{\boldsymbol{x}}_2 \quad \quad \quad (\text{Equation 2})

と書ける。ここで、

\boldsymbol{F}_{12} は質量1が質量2から受ける力であり、
\boldsymbol{F}_{21} は質量2が質量1から受ける力である。

この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル\boldsymbol{r} \equiv \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡\boldsymbol{x}_1 (t)\boldsymbol{x}_2 (t)が記述できる。

重心の動き[編集]

式1と式2を足すと、


m_1 \ddot{\boldsymbol{x}}_1 + m_2 \ddot{\boldsymbol{x}}_2 =( m_1 + m_2 ) \ddot{\boldsymbol{x}}_{cm} = \boldsymbol{F}_{12} + \boldsymbol{F}_{21} =0

となる。ここで運動の第3法則\boldsymbol{F}_{12} =- \boldsymbol{F}_{21}を使うと、

\boldsymbol{x}_{cm} \equiv \frac{m_1 \boldsymbol{x}_1 + m_2 \boldsymbol{x}_2}{m_1 + m_2}

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

\ddot{\boldsymbol{x}}_{cm} =0

は、重心の速度\dot{\boldsymbol{x}}_{cm}と、 全運動量m_1 \dot{\boldsymbol{x}}_1 + m_2 \dot{\boldsymbol{x}}_2が一定であることを意味する。 つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き[編集]

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、


\ddot{\boldsymbol{r}} = \ddot{\boldsymbol{x}}_1 - \ddot{\boldsymbol{x}}_2 = 
\left( \frac{\boldsymbol{F}_{12}}{m_1} - \frac{\boldsymbol{F}_{21}}{m_2} \right) =
\left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \boldsymbol{F}_{12}

が得られる。ここで、\boldsymbol{r}は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力は\boldsymbol{r}の関数となり、\boldsymbol{x}_1\boldsymbol{x}_2の絶対値には関係しない。 この式は次のように書ける。


\mu \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}_{12} ( \boldsymbol{x}_1 , \boldsymbol{x}_2 )= \boldsymbol{F} ( \boldsymbol{r} )

ここで\mu換算質量であり、

\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

である。

\boldsymbol{x}_{cm}(t)\boldsymbol{r}(t)を使うと、軌跡の方程式は

\boldsymbol{x}_1 (t)= \boldsymbol{x}_{cm} (t)+ \frac{m_2}{m_1 + m_2} \boldsymbol{r} (t)
\boldsymbol{x}_2 (t)= \boldsymbol{x}_{cm} (t)- \frac{m_1}{m_1 + m_2} \boldsymbol{r} (t)

と書ける。

関連項目[編集]