正則測度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

数学の分野における、ある位相空間上の正則測度(せいそくそくど、: regular measure)とは、その空間内のすべての可測集合について「近似的に開」(approximately open)かつ「近似的に閉」(approximately closed)であるような測度のことを言う。

定義[編集]

(X, T) を位相空間とし、Σ を、位相 T を含む X 上のσ-代数とする(したがって、すべての開集合閉集合は可測集合であり、Σ は少なくとも X 上のボレルσ-代数と同じくらい良質なものである)。μ を (X, Σ) 上の測度とする。X の可測部分集合 Aμ-正則であるとは、

\mu (A) = \sup \{ \mu (F) | F \subseteq A, F \mbox{ closed} \}

および

\mu (A) = \inf \{ \mu (G) | G \supseteq A, G \mbox{ open} \}

が成り立つことを言う。あるいは、Aμ-正則集合であるための必要十分条件は、すべての δ > 0 に対して、

F \subseteq A \subseteq G

および

\mu (G \setminus F) < \delta

を満たすような閉集合 F と開集合 G が存在することを言う。

これら二つの定義は、\mu(A) が有限である場合には同値となる(そうでない場合には、二つ目の定義の方が強くなる)。すべての可測集合が正則であるとき、μ正則測度と呼ばれる。

人によっては、集合 F が(閉であるだけでなく)コンパクトであることも必要とする[1]

[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Dudley 1989, Sect. 7.1

参考文献[編集]

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-19745-9. 
  • Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X.  MR:2169627 (See chapter 2)
  • Dudley, R. M. (1989). Real Analysis and Probability. Chapman & Hall. 

関連項目[編集]