ボレル正則測度

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数学の分野において、n-次元ユークリッド空間 Rn 上の外測度 μ は、次の二つの条件が成り立つとき、ボレル正則測度(ボレルせいそくそくど、: Borel regular measure)と呼ばれる。

\mu (A) = \mu (A \cap B) + \mu (A \setminus B).
  • すべての(必ずしも μ-可測ではない)集合 A ⊆ Rn に対して、A ⊆ B および μ(A) = μ(B) であるようなボレル集合 B ⊆ Rn が存在する。

これら二条件の内、初めの一つのみを満たすような外測度はボレル測度(Borel measure)と呼ばれる。一方、二つ目の条件のみを満たすような外測度は正則測度(regular measure)と呼ばれる。

Rn 上のルベーグ外測度は、ボレル正則測度の一例である。

ボレル正則測度は、ここでは(可算劣加法的であるだけの)「外」測度として導入したが、もしボレル集合に制限されるなら完全な(可算加法的な)測度となる。

参考文献[編集]

  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press. ISBN 0-8493-7157-0. 
  • Fonseca, Irene; Gangbo, Wilfrid (1995). Degree theory in analysis and applications. Oxford University Press. ISBN 0-19-851196-5.