ルベーグ測度の正則性定理

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数学の分野におけるルベーグ測度の正則性定理(ルベーグそくどのせいそくせいていり、: Regularity theorem for Lebesgue measure)とは、実数直線上のルベーグ測度正則測度であるということについて述べた、測度論の分野の一結果である。くだけた言い方をすれば、実数直線に含まれるすべてのルベーグ可測部分集合は、「近似的に」かつ「近似的に」である、ということをこの定理は意味している。

定理の内容[編集]

実数直線 R 上のルベーグ測度は、正則測度である。すなわち、R に含まれるすべてのルベーグ可測部分集合と、すべての ε > 0 に対して、次を満たすような R の部分集合 CU が存在する。

  • C は閉;
  • U は開;
  • C ⊆ A ⊆ U;
  • U \ C のルベーグ測度は、ε より厳密に小さい。

さらに、A が有限ルベーグ測度を持つなら、Cコンパクトであるように選ぶことが出来る(したがって、ハイネ・ボレルの定理により、閉かつ有界であるように選ぶことが出来る)。

系:ルベーグ可測集合の構造[編集]

A がルベーグ可測な R の部分集合であるなら、あるボレル集合 B零集合 N が存在して、A はそれらの対称差で表される。すなわち、

A = B \triangle N = \left( B \setminus N \right) \cup \left( N \setminus B \right)

が成立する。

関連項目[編集]