モーデルの定理

数学におけるモーデルの定理（モーデルのていり、Mordell's theorem）とは、有理数体Q上の楕円曲線 E の有理点と無限遠点Oのなすアーベル群 E(Q) が有限生成になる、という定理である。 アーベル群の基本定理から有限生成アーベル群は次に同型であることが知られている。

$\mathbb{Z}^{\oplus r}\oplus \ \mathbb{A} \qquad (r\ge 0)$

ここでAは有限アーベル群である。 （rはEの階数（ランク）と呼ばれ、関連する予想にミレニアム懸賞問題のBSD予想がある。）

有限生成可換群E(Q)の場合、ねじれ部分群Aは次のいずれかに同型となる。

$(i) \; \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \qquad (1 \le n \le 10 \; or \; n=12)$

$(ii) \; \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\;\oplus\;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\qquad (n = 2,4,6,8)$

モーデルの定理は後にアンドレ・ヴェイユによって代数体上のアーベル多様体の有理点のなす群に関するモーデル・ヴェイユの定理へと拡張された。

概要

以下モーデルの定理を正確に述べるために少し準備をする。

モーデルの弱定理 (weak Mordell theorem)

これはE(Q)/2E(Q)が有限群であるという定理である。一般にアーベル群Aが有限生成ならばA/2Aは有限群になるので、これはE(Q)が有限生成となるための必要条件になっている。ここで、一般にはA/2Aが有限群でもAが有限生成になるとは限らないことに注意しなければならない（反例として、Q/2Q={0}だがQは有限生成でないことがあげられる）。

有理点の高さ

有理数xについて高さH(x)を次のように定義する。x＝m/n (n,m∈Zで、nとmは互いに素）と既約分数で表示したとき

$H ( x ) = \max \{ \left| n \right| ,\left| m \right| \}$

またP∈E(Q),P≠Oに対してH(P)をPのｘ座標の高さとしH(O)=1定義する。

このとき次の２つの条件を満たす正数Cが存在することが知られている。

(1)E(Q)に属するすべてのPに対して $C \cdot H(2P)\ge H(P)^4$

(2)E(Q)に属するすべてのP,Qに対して $C \cdot H(P) \cdot H(Q) \ge min\{H(P+Q),H(P-Q)\}$

いまfをE(Q)からE(Q)/2E(Q) 自然な準同型

$f \; : \; E \left( \mathbb{Q} \right) \quad \longrightarrow \quad E \left( \mathbb{Q} \right) /2 E \left( \mathbb{Q} \right)$　

としE(Q)の部分集合Aのfによる像がE(Q)/2E(Q)であるとする。（すなわちf:A　→　E(Q)/2E(Q)が全射。いまAに演算は定義しない）

このときモーデルの弱定理よりAが有限集合でも構わないことがわかる。そこで$A = \{Q_1,Q_2,\cdot \cdot \cdot,Q_n \}$とする。ここで正数Mを

$M = \max \{ C,H(Q_1),H(Q_2),\cdot \cdot \cdot,H(Q_n) \}$

と定めると次のモーデルの定理が成り立つ

E(Q)は{P∈E(Q),H(P)≦M}によって生成される。

高さの定義よりこれは有限集合でなので、結局E(Q)は有限生成であることが分かる。

参考文献

• 加藤和也,黒川信重,斎藤毅 『数論〈1〉Fermatの夢と類体論』, 岩波書店, 2005. ISBN 4000055275