フィッシャー情報量

フィッシャー情報量（フィッシャーじょうほうりょう、英: Fisher information ） $\mathcal{I}_X(\theta)$は統計学や情報理論で登場する量で、確率変数$X$が母数$\theta$に関して持つ「情報」の量を表す。統計学者のロナルド・フィッシャーに因んで名付けられた。

定義

$\theta$を母数とし、$X$を確率密度関数が$f(x|\theta)$で表される確率変数とする。 このとき、$\theta$の尤度関数$L(\theta|x)$は

$L(\theta|x)=f(x|\theta)\,$

で定義され、スコア関数は対数尤度関数の微分

$V(x;\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta} \ln L(\theta|x)$

により定義される。このとき、フィッシャー情報量$\mathcal{I}_X(\theta)$はスコア関数の2次のモーメント

$\begin{align} \mathcal{I}_X(\theta) & =\mathrm{E}[V(x;\theta)^2|\theta] \\ & =\mathrm{E} \left[ \left. \biggl(\frac{\partial}{\partial\theta} \ln L(\theta|x) \biggr)^2 \right|\, \theta \right] \end{align}$

により定義される。紛れがなければ添え字の$X$を省略し、$\mathcal{I}(\theta)$とも表記する。なお、$X$に関しては期待値が取られている為、フィッシャー情報量は$X$の従う確率密度関数$f(x|\theta)$のみに依存して決まる。よって$X$と$Y$が同じ確率密度関数を持てば、それらのフィッシャー情報量は同一である。

スコア関数は

$\mathrm{E}[V(x;\theta)|\theta]=0\,$

を満たす事が知られているので、

$\mathcal{I}_X(\theta)=\mathrm{var}(V(x;\theta))$

が成立する。ここで$\mathrm{var}$は分散を表す。

また$\ln f(x|\theta)$が二回微分可能で以下の標準化条件

$\int \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}f(X ; \theta ) \, dx=0,$

を満たすなら、フィッシャー情報量は以下のように書き換えることができる。

$\mathcal{I}(\theta) =- \mathrm{E} \left[ \frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ln f(X;\theta) \right].$

このとき、フィッシャー情報量は、$f$ の対数の$\theta$についての2次の導関数にマイナスを付けたものになる。フィッシャー情報量は、$\theta$についての最尤推定量付近のサポート曲線の「鋭さ」としてもとらえることができる。例えば、「鈍い」（つまり、浅い最大値を持つ）サポート曲線は、2次の導関数として小さな値を持つため、フィッシャー情報量としても小さな値を持つことになるし、鋭いサポート曲線は、2次導関数として大きな値を持つため、フィッシャー情報量も大きな値になる。

フィッシャー情報行列

パラメータがN個の場合、つまり、$\mathbf{\theta}$ がN次のベクトル$\theta = ( \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots , \theta_{N} )^T$であるとき、フィッシャー情報量は、以下で定義されるNxN 行列に拡張される。

$\mathcal{I} (\mathbf{\theta} )= \mathrm{E} \left[ \frac{\partial}{\partial \mathbf{\theta}} \ln f(X;\theta) \frac{\partial}{\partial \mathbf{\theta}^T } \ln f(X;\theta) \right].$

これを、フィッシャー情報行列(FIM, Fisher information matrix)と呼ぶ。成分表示すれば、以下のようになる。

${\left(\mathcal{I} \left(\theta \right) \right)}_{i, j} = \mathrm{E} \left[ \frac{\partial}{\partial\theta_i} \ln f(X;\theta) \frac{\partial}{\partial\theta_j} \ln f(X;\theta) \right].$

フィッシャー情報行列は、NxN の正定値対称行列であり、その成分は、N次のパラメータ空間からなるフィッシャー情報距離を定義する。

$p$個のパラメータによる尤度があるとき、フィッシャー情報行列のi番目の行と、j番目の列の要素がゼロであるなら、2つのパラメータ、$\theta_{i}$と$\theta_{j}$は直交である。パラメータが直交であるとき、最尤推定量が独立になり、別々に計算することができるため、扱いやすくなる。このため、研究者が何らかの研究上の問題を扱うとき、その問題に関わる確率密度が直交になるようにパラメーター化する方法を探すのに一定の時間を費やすのが普通である。

基本的性質

フィッシャー情報量は

$0 \leq \mathcal{I}(\theta) < \infty\,$

を満たす。

また$X$，$Y$が独立な確率変数であれば、

$\mathcal{I}_{X,Y}(\theta) = \mathcal{I}_X(\theta) + \mathcal{I}_Y(\theta)$　(フィッシャー情報量の加算性）

が成立する。すなわち、「$(X,Y)$が$\theta$に関して持つ情報の量」は 「$X$が$\theta$に関して持つ情報の量」と 「$Y$が$\theta$に関して持つ情報の量」の和である。

よって特に、無作為に取られたn個の標本が持つフィッシャー情報量は、1つの標本が持つフィッシャー情報量のn倍である（観察が独立である場合）。

Cramér–Raoの不等式

$\theta$の任意の不偏推定量$\hat{\theta}$は以下のCramér–Rao(クラメール-ラオ)の不等式を満たす：

$\mathrm{var}(\hat{\theta})\ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)}\,$

この不等式の直観的意味を説明する為、両辺の逆数を取った上で確率変数$X$への依存関係を明示すると、

$\mathcal{I}_X(\theta)\ge\frac{1}{\mathrm{var}(\hat{\theta}(X))}\,$

となる。一般に推定量はその分散が小さいほど(よって分散の逆数が大きいほど)母数$\theta$に近い値を出しやすいので、「よい」推定量であると言える。$\theta$を「推定する」という行為は、「よい」推定量$\hat{\theta}(X)$を使って$\theta$を可能な限り復元する行為に他ならないが、上の不等式は$X$から算出されたどんな不偏推定量であっても$X$が元々持っている「情報」以上に「よい」推定量にはなりえない事を意味する。

十分統計量との関係

一般に$T =t(X)$が統計量であるならば、

$\mathcal{I}_T(\theta) \leq \mathcal{I}_X(\theta)$

が成立する。すなわち、「$X$から計算される値$T=t(X)$が持っている$\theta$の情報」は「$X$自身が持っている$\theta$の情報」よりも大きくない。

上式で等号成立する必要十分条件は$T$が十分統計量であること。 これは$T(X)$が $\theta$に対して十分統計量であるならば、ある関数$f$および$g$が存在して

$f(X;\theta) = g(T(X), \theta) h(X)$

が成り立つ(ネイマン分解基準)事を使って証明できる。

カルバック・ライブラー情報量との関係

$X_\theta$を母数$\theta$を持つ確率変数とすると、カルバック・ライブラー情報量 $D_{\mathrm{KL}}$に対して、以下の関係が成り立つ。

$\lim_{h \to 0} D_{\mathrm{KL}}(X_{\theta + h}\|X_{\theta})/h^2 =\mathcal{I}(\theta)/2\,$

具体例

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布は、確率θ でもたらされる「成功」と、それ以外の場合に起きる「失敗」という2つの結果をもたらす確率変数が従う分布である（ベルヌーイ試行）。例えば、表が出る確率がθ、裏が出る確率が1 - θであるような、コインの投げ上げを考えれば良い。

n回の独立なベルヌーイ試行が含むフィッシャー情報量は、以下のようにして求められる。なお、以下の式中で、A は成功の回数、B は失敗の回数、n =A +B は試行の合計回数を示している。対数尤度関数の2階導関数は、

$\begin{align} \frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ln{f(A;\theta)} & = \frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ln \left[ \theta^A(1-\theta)^B\frac{(A+B)!}{A!B!} \right] \\ & = \frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \left[ A \ln (\theta) + B \ln(1-\theta) \right] \\ & = \frac{A}{\theta^2} + \frac{B}{(1-\theta)^2} \end{align}$

であるから、

$\begin{align} \mathcal{I}(\theta) & = -\mathrm{E} \left[ \frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ln(f(A;\theta)) \right] \\ & = \frac{n\theta}{\theta^2} + \frac{n(1-\theta)}{(1-\theta)^2} \end{align}$

となる。但し、Aの期待値はn θ、B の期待値はn (1-θ )であることを用いた 。

つまり、最終的な結果は、

$\mathcal{I}(\theta) = \frac{n}{\theta(1-\theta)},$

である。これは、n回のベルヌーイ試行の成功数の平均の分散の逆数に等しい。

ガンマ分布

形状パラメータα、尺度パラメータβのガンマ分布において、フィッシャー情報行列は

$\mathcal{I}(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix} \psi'(\alpha) & \frac{1}{\beta} \\ \frac{1}{\beta} & \frac{\alpha}{\beta^2} \end{pmatrix}$

で与えられる。但し、ψ(α)はディガンマ関数を表す。

正規分布

平均μ、分散σ²の正規分布N(μ, σ²⁾において、フィッシャー情報行列は

$\mathcal{I}(\mu, \sigma^2) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sigma^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \end{pmatrix}$

で与えられる。

多変量正規分布

N個の変数の多変量正規分布についてのフィッシャー情報行列は、特別な形式を持つ。

$\mu(\theta) = \begin{pmatrix} \mu_{1}(\theta), \mu_{2}(\theta), \cdots , \mu_{N}(\theta) \end{pmatrix},$

であるとし、$\Sigma(\theta)$が$\mu(\theta)$の共分散行列であるとするなら、

$X$～$N(\mu(\theta), \Sigma(\theta))$のフィッシャー情報行列、$\mathcal{I}_{m,n} \, (0\le;m,n<N)$の成分は以下の式で与えられる。

$\mathcal{I}_{m,n} = \frac{\partial \mu}{\partial \theta_m} \Sigma^{-1} \frac{\partial \mu^\top}{\partial \theta_n} + \frac{1}{2} \mathrm{tr} \left( \Sigma^{-1} \frac{\partial \Sigma}{\partial \theta_m} \Sigma^{-1} \frac{\partial \Sigma}{\partial \theta_n} \right),$

ここで、$(..)^\top$はベクトルの転置を示す記号であり、$\mathrm{tr}(..)$は、平方行列のトレースを表す記号である。また、微分は以下のように定義される。

$\frac{\partial \mu}{\partial \theta_m} =\begin{pmatrix} \frac{\partial \mu_1}{\partial \theta_m}, & \frac{\partial \mu_2}{\partial \theta_m}, & \cdots, & \frac{\partial \mu_N}{\partial \theta_m} \end{pmatrix}$

$\frac{\partial \Sigma}{\partial \theta_m} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \Sigma_{1,1}}{\partial \theta_m} & \frac{\partial \Sigma_{1,2}}{\partial \theta_m} & \cdots & \frac{\partial \Sigma_{1,N}}{\partial \theta_m} \\ \\ \frac{\partial \Sigma_{2,1}}{\partial \theta_m} & \frac{\partial \Sigma_{2,2}}{\partial \theta_m} & \cdots & \frac{\partial \Sigma_{2,N}}{\partial \theta_m} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial \Sigma_{N,1}}{\partial \theta_m} & \frac{\partial \Sigma_{N,2}}{\partial \theta_m} & \cdots & \frac{\partial \Sigma_{N,N}}{\partial \theta_m} \end{pmatrix}.$

関連項目

情報理論で用いられる他の情報の測度。

• 情報量
• 情報エントロピー

参考文献

Wikipedia英語版 http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher_information